Was ist der Unterschied zwischen E=mc^2 und E^2=(m_0)^2 (c)^4 + (p)^2(c)^2?
Geht es dabei um die Gültigkeit? Inwiefern ist die zweite Gleichung wichtig für die Equivalenz von Masse und Energie?
3 Antworten
die zweite ist der zusammenhang zwischen energie, masse und impuls.
die erste ist nur der speziall daraus für p=0, also im schwerpunktssystem und gibt dir daher die ruheenergie.
Hallo milchstrasse04,
die Gleichung
(1) E = mc²
würde ich in erster Linie als Gleichung für die Energie E und die Masse m als physikalische Größen in einem abstrakten Sinne auffassen.
Und so bedeutet die Gleichung dies:
- Jede Energie E "wiegt was" (nämlich E/c²) und
- Masse ist ¹) Energie; bei einem Körper oder Teilchen sozusagen kondensierte Energie.
Die Gleichung
(2.1) E² = m₀²c⁴ + p²c² = E₀² + p²c²
erinnert an den Satz des PYTHAGORAS und bezieht sich auf einen konkreten Körper oder ein konkretes Teilchen, der/das keiner Kraft unterliegt. Dabei ist
(a) E = E₀ + Eₖ
die Gesamtenergie,
(b) E₀ = m₀c²
die in diesem Körper/ Teilchen kondensierte Ruheenergie (die physikalisch mit seiner Eigenmasse m₀ identisch ist) und Eₖ die kinetische Energie, die er hat – relativ zu einem bestimmten Bezugskörper, etwa einer Uhr U natürlich, denn Fortbewegung ist relativ.
Nun lässt sich (2.1) auch so umformen, dass auf einer Seite nur noch eine invariante Größe stehen, d.h. eine, die von der Wahl der Bezugsuhr unabhängig ist. Außerdem lässt sie sich durch Division durch c² auf die Dimension eines Impulsquadrates bringen:
(2.2) (E⁄c)² − p² = (E₀⁄c)² = (m₀c)²
E/c lässt sich als "Impuls in Zeitrichtung" auffassen und bildet zusammen mit dem Impuls p› den raumzeitlichen Impuls oder Viererimpuls
(3) (E⁄c | p›) = (E⁄c | px | py | pz),
dessen "Betrag" E₀⁄c = m₀c ist. Das Besondere an dieser Art "Betrag" ist das Minuszeichen in (2.2): Die Quadrate der räumlichen Komponenten werden von dem der zeitlichen abgezogen. Darauf, dass man dies so machen muss, hat EINSTEINs früherer Mathematikprofessor MINKOWSKI erstmals hingewiesen.
Abb. 1: Der Viererimpuls und seine Komponenten
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¹) Der Faktor c² ist als universelle Konstante ein Artefakt des Maßsystems und macht keinen physikalischen Unterschied aus. Energie könnte ebensogut in derselben Maßeinheit angegeben werden wie Masse, wenn man Weglängen in derselben Maßeinheit wie Zeitspannen angeben (ein Schullineal hat eine Länge von gut einer Nanosekunde). Daraus ergäbe sich einfach c=1.
E=m*c^2 ist nur für verhältnismäßig kleine geschwindigkeiten und lediglich nur eine Annäherung. Die gleichung erhältst du nach der linearisierung des Gamma Faktors.
Die sind wir nahe an der Lichtgeschwindigkeit ist E=m*c^2 nicht allgemein gültig. Es muss also korrigiert werden.
Das macht man nicht selten in der physik, dass bei Gleichungen bei denen es nur um bestimmte Bereiche geht auf diese Weise vereinfacht wird.
also. Wir haben den Gammafaktor γ=(1-(v^2/c^2))^-1/2
den Linearisieren wir und bekommen ja 1+(1/2)*(v^2/c^2)
Wenn wir uns jetzt eine bewegte Masse anschauen, z.b. den Impact eines Asteroiden dann würde es ja bedeuten, dass wenn die Zeiten unterschiedlich vergehen je nach dem in welchem Bezugssystem wir uns befinden, dass der Impact unterschiedlich stark ausfallen wird, wenn wir von der Newtonschen Mechanik ausgehen E=(1/2)*m*v^2
und das ist doch erstmal seltsam also ist die Masse ebenfalls relativ zu betrachten indem wir die Ruhe Masse mit dem Gammafaktor Multiplizieren:
m^=γ*m0=m0+m0*(1/2)*v^2
jetzt multiplizieren wir mit c^2 und erhalten:
m^*c^2=m0*c^2+m0*(1/2)*v^2
Jetzt sieht man, dass m^*c^2 sich aus 2 Bestandteilen zusammen setzt, und m0*c^2 ist demnach hier die Ruheenergie und m^*c^2 die Gesamtenergie.
E=m*c^2
Wir haben den Gammafaktor
γ=(1-(v^2/c^2))^-1/2
den Linearisieren wir und bekommen ja 1+(1/2)*(v^2/c^2)
Genau das habe ich gemacht. Natürlich setzt das v<<c voraus.
...je nach dem in welchem Bezugssystem wir uns befinden,...
Das ist irreführend formuliert. Ein Bezugssystem ist ja keine Kiste, außerhalb derer man sich befinden könnte. Ich würde eher sagen "...welches Koordinatensystem wir als Bezugssystem wählen" oder "...in welchem Koordinatensystem wir rechnen".
...also ist die Masse ebenfalls relativ zu betrachten indem wir die Ruhe Masse mit dem Gammafaktor multiplizieren:...
Das Resultat ist die Impulsmasse. Die Träge Masse stimmt aber nur quer zur Bewegungsrichtung mit ihr überein. Die "Längsmasse" ist m₀γ³.
Nur ein Grund, warum man nicht mehr die Impulsmasse als Masse des Körpers bezeichnet.
m₀(γ − 1) gehört im Grunde ja nicht zur Masse des Körpers selbst, sondern zu der "mitgeschleppten" kinetischen Energie.
Ja richtig. Ich habe das in dem Beispiel so gemeint, dass es ja nicht sein kann, dass der Impact des Asteroiden davon abhängt, ob wir uns auf dem Asteroiden selbst befinden oder den Asteroiden von der Erde aus betrachten. Lass dich davon nicht verwirren :D
Ja richtig Wenn wir die Ruhe Masse mit dem Gammafaktor multiplizieren handelt es sich um eine bewegte Masse also eine Masse die über eine kinetische Energie verfügt. Diese bewegte Masse habe ich hier m^ genannt und diesen habe ich mit c^2 multipliziert. Es handelt sich also nicht um die Ruhemasse selbst.
Also eigentlich heißt das dann nicht in meinem Fall E=m*c^2 sondern
E=m^*c^2
Wir haben hier also eine Masse der bereits mit dem Gammafaktor multipliziert wurde. Das muss man natürlich berücksichtigen. Ich dachte es würde darum gehen wie man überhaupt auf die Gleichungen kommt.
...dass der Impact des Asteroiden davon abhängt, ob wir uns auf dem Asteroiden selbst befinden oder den Asteroiden von der Erde aus betrachten.
Das macht einen riesigen Unterschied: Wenn wir uns auf dem Asteroiden befinden, sind wir mausetot.
Ist klar, wie Du das meinst: Es geht um die Wahl des Bezugssystems. Dafür kommt es aber nicht darauf an, wo wir selbst sind. Wir müssen nicht uns selbst als ruhend ansehen, obwohl wir es können.
Ja schon klar mir gefiel nur für das Verständnis das Gedanken spiel. Mit der Realität hat das nichts zu tun, das sollte hoffentlich klar sein. Ist vielleicht nicht das beste Beispiel dazu aber vielleicht kann es dem einen oder anderen weiterhelfen :)
Mir ging es in meinem letzten Kommentar vor allem darum, aufzuzeigen, was "Bezugssystem" heißt – und vor allem, was es nicht heißt. Das wird nämlich immer missverstanden, als müsste man immer sich selbst als ruhend ansehen. Tut im Alltag sonst kein Mensch.
Das kommt darauf an, was man unter E und unter m versteht. Meint man mit m die invariante Masse bzw. Eigenmasse, kann E entweder nicht die Gesamtenergie sein, oder es muss
(1) E = mγc²
heißen.
Dann kommt da
(2) E ≈ mc²(1 + v²/2c²) = mc² + ½mv²
heraus. Letzteres kennen wir aus der NEWTONschen Mechanik als kinetische Energie.