was genau sit der unterschied zwisch maximales und minimales Element und maximum und minimum? (Relationen)? Die Definitionen klingen irgendwie gleich?

x ist ein größtes Element (aka Maximum) von M, wenn für alle y aus M gilt:

y<=x

x ist ein maximales Element von M wenn gilt:

Wenn es ein y gibt mit x<=y dann muss auch auch y<=x gelten. (Besser gesagt es gibt kein Element aus M, welches echt größer als x ist).

(Für minimales/kleinstes einfach >= statt <= schreiben)

Bei einer Totalen Ordnung sind beide Eigenschaften identisch, bei einer Halbordnung muss dies nicht der Fall sein.

Beispiel:

Sei M={1,2,3} und R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)}

"<=" Wird hier dann so definiert: x<=y wenn (x,y) in R ist

<= ist eine Halbordnung (da Reflexiv, Transitiv und Asymmetrisch) aber keine totale Ordnung (da weder (2,3) noch (3,2) in R enthalten sind)

Dann sind 2 und 3 maximale Elemente (da für beide gilt, dass es kein größeres Element gibt), und es gibt kein Maximum.

1 ist hier sowohl ein Minimum und ein Minimales Element.