Warum konvertiert die Reihe 1/n nicht, aber dafür 1/n²?
4 Antworten
Hallo,
im Folgenden zeige ich, dass ∑1/n uneigentlich gegen ∞ konvergiert und ∑1/n² eigentlich konvergiert:
Harmonische ReiheSchauen wir uns die 2ⁿ-te Partialsumme der harmonischen Reihe an:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - + - + - + - + - + ... + -
1 2 3 4 5 6 7 8 2ⁿ
Der Nenner runden wir immer auf die nächste Zweierpotenz auf. Die Summe wird dadurch kleiner (oder gleich für n = 1). Gleiche Brüche lassen sich immer zu 1/2 zusammenfassen.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - + - + - + - + - + ... + - = 1 + n/2
1 2 4 4 8 8 8 8 2ⁿ
Weil 1 + n/2 beliebig groß wird, werden auch die Partialsummen der harmonischen Reihe beliebig groß.
Reihe der reziproken QuadratzahlenSchauen wir uns nun die 2ⁿ- 1-te Partialsumme der Reihe der reziproken Quadratzahlen an:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - + - + - + - + - + ... + -
1 2² 3² 4² 5² 6² 7² 8² (2ⁿ-1)²
Dieses Mal machen wir die Summe größer:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - + - + - + - + - + ... + -
1 2² 2² 4² 4² 4² 4² 8² (2ⁿ⁻¹)²
1 1 1 1 1 1
= - + - + - + - + ... + - = 2 - -
1 2 4 8 2ⁿ⁻¹ 2ⁿ
Die Reihe ∑ 1/n² ist also durch 2 nach oben beschränkt. Weil die Folge der Partialsummen zudem monoton steigt, konvergiert die Reihe.
Zusammenfassung:- Bei ∑1/n kommt man, indem man jeweils eine exponentiell steigende Anzahl von Summanden zusammenfasst, immer auf eine Summe von jeweils ≥1/2.
- Bei ∑1/n² kommt man, indem man jeweils eine exponentiell steigende Anzahl von Summanden zusammenfasst, auf eine geometrische Folge. Der Unterschied zur harmonischen Reihe ist, dass weil in 1/n² der Faktor 1/n ein zweites Mal vorkommt, die Anzahl, die man jeweils zusammenfasst, rausgekürzt wird.
Weil 1/n (im Gegensatz zu 1/n²) nicht schnell genug gegen Null geht.
zum Warum lässt sich vor allem sagen : Ja Ja Ja , das ist überraschend, sollte man nicht denken .
Dafür gerade sind Beweise da :
Dem Gefühl ( oft leider ) zu widersprechen
... Wobei mein "Warum" ja eher 1/n² betreffen würde (immer weiter addieren bis ins Unendliche und das soll dann am Ende doch endlich bleiben) :-)
Ehrlich gesagt verstehe ich das Fragewort "Warum" hier nicht. Wie man mathematisch nachweisen kann, tut sie das einfach nicht. Du könntest fragen, wie man das beweisen kann, aber ein "Warum" hat man dann auch nicht beantwortet.
Den (einen) Beweis findest Du hier:
(Er läuft am Ende darauf hinaus, dass man für die Partialsumme bis 2^n abschätzen kann, dass diese mindestens größer als 1+n/2 ist und damit divergiert das für n gegen Unendlich)