Warum ist die leere Menge Teilmenge aller Mengen?
Ich habe folgende Erklärung im Internet gefunden:
If you're comfortable with proof by contrapositive, then you may prefer to prove that for any set A, if x∉A, then x∉∅. But of course, x∉∅ is trivial since ∅ has no elements at all. Hence, x∉A⟹x∉∅,, so by contrapositive, x∈∅⟹x∈A, meaning ∅⊆A.
Ich verstehe die beiden Implikationen nicht:
- x∉A⟹x∉∅
- x∈∅⟹x∈A
4 Antworten
Man kann eine Impikation wie (1.) negieren auf beiden seiten und die Implikation umgekehren, folgt aus der Logik.
Ich kann der Argumentation zur ersten Implikation nicht folgen, denn x∉∅ wird ohne Verwendung der Voraussetzung gefolgert. Da wäre mir der direkte Ansatz lieber, „Für alle Elemente der Menge ∅ gilt x∈A“ (geklaut bei Wikipedia).
"x∉∅" ist immer wahr, da die leere Menge keine Elemente enthält. Eine Implikation, deren Nachsatz wahr ist, ist wahr, unabhängig vom Wahrheitswert des Vordersatzes, also ist "x∉A⟹x∉∅" immer wahr, für beliebige x und beliebige A. Per Kontraposition folgt daraus "x∈∅⟹x∈A", das ist also auch immer wahr. Und da es immer wahr ist, also für alle x gilt, folgt mit der Definition der Teilmenge "∅⊆A" (für beliebige A).
B ⊆ A bedeutet, wenn ein Element in B ist, dann ist es auch in A.
Ist B die leere Menge, so lautet die Implikation x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A. Weil die Bedingung falsch ist, ist die Implikation wahr. Weil x ∈ ∅ immer falsch ist, ist die definierende Eigenschaft Teilmenge von A zu sein also erfüllt.