Warum ist (a-b)² = (b-a)² ?

Im Unterricht sind wir in Gruppenarbeit darauf gekommen, dass das stimmt, allerdings haben wir es mit Zahlen bewiesen und es mündlich erklärt, jetzt ist unsere Aufgabe für Zuhause, es allgemein gültig zu beweisen, also mit Termen. Daran scheitere ich momentan.

Danke im Voraus!

Answer 1

[Willibergi]

Mehrere mögliche Erklärungsmöglichkeiten.

Der einfachste Beweis:

$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2=b^2-2ba+a^2=\left(b-a\right)^2$

Eine andere Möglichkeit:

Wegen

$b-a=-\left(a-b\right)$

und

$\left(-x\right)^2=x^2$

gilt

$\left(a-b\right)^2=\left(-\left(a-b\right)\right)^2=\left(b-a\right)^2$

Sicher gibt es noch andere Beweismöglichkeiten. Eine würde aber reichen ;-)

LG

Answer 2

[mihisu]

Für alle Zahlen a, b ist:

(a - b)²
= ((-1) ⋅ (-a) + (-1) ⋅ b)²
= ((-1) ⋅ (-a + b))²
= (-1)² ⋅ (-a + b)²
= 1 ⋅ (-a + b)²
= (-a + b)²
= (b + (-a))²
= (b - a)²

Da habe ich versucht alles relativ ausführlich in kleinen Schritten vorzurechnen.

Im Grunde kann man bei (a - b) eine -1 ausklammern, also (a - b) = (-1) ⋅ (b - a) schreiben. Der Faktor (-1) verschwindet dann beim quadrieren, da (-1)² = 1 ist.

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Bzw. kann man das auch so sehen ...

(a - b)² = (-(-a + b))² = (-(b + (-a)))² = (-(b - a))² = (b - a)²

Dabei wurde insbesondere im letzten Schritt verwendet, dass (-x)² = x² für alle x ist, also insbesondere auch für x = b - a.

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Alternativ:

Einerseits ist (mit erster binomischer Formel)...

(a - b)² = a² - 2 ⋅ a ⋅ b + b²

Andererseits ist ...

(b - a)² = a² - 2 ⋅ b ⋅ a + b² = b² - 2 ⋅ a ⋅ b + a² = a² - 2 ⋅ a ⋅ b + b²

[Dabei konnte man aufgrund der Kommutativität der Multiplikation in einem Schritt die Faktoren a und b vertauschen, und im Schritt danach aufgrund der Kommutativität der Addition die Summanden a² und b² vertauschen.]

Demnach ist dann also für alle Zahlen a, b:

(a - b)² = a² - 2 ⋅ a ⋅ b + b² = (b - a)²

Answer 3

[gfntom]

a-b =(-1)*(b-a)

und daher

(a-b)² = (-1)²*(b-a)² = 1 * (b-a)² = (b-a)²

.

Oder einfach ausmultiplizieren:
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(b-a)² = b² -2ab + a² = a² - 2ab + b²

Answer 4

[donotcallme]

Es ist egal, welchen Term du von welchem abzieht, da das Ergebnis nur ein anderes Vorzeichen hat, als bei der umgekehrten Subtraktion. Durch das quadrieren verschwindet das Vorzeichen der Differenz und das Ergebnis ist identisch.

Beispiel:

7-3=4

3-7=-4

4 hoch 2 = 16

-4 hoch 2 = 16

Comments

[KahlenTomlinson]

Danke,

auf eben diese Erkenntnis sind wir auch gestoßen. Kennen Sie einen Weg das nur mit den Ausdrücken a und b zubeweisen ?

[KahlenTomlinson]

@KahlenTomlinson

Egal, das kommt schon aus den anderen Antworten hervor

Answer 5

[Trejn]

Zweite binomische Formel, einfach ausmultiplizieren. (a-b)² = a²-2ab+b²

a² und b² kommen ohne negatives Vorzeichen, -2ab schon. Man sieht eigentlich sofort, dass es keine Rolle spielt, ob in der Klammer nun a-b oder b-a steht, weil in beiden Fällen a²-2ab+b² rauskommt.