Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Hi, wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, ich kenne das nur in Art mit einem Baumdiagramm, was bei kleinen Dingen auch noch geht, wird aber bei größeren Sachen schwierig. Kann man folgende Aufgabe anders lösen und wie?

Es gibt einen Zufallsknopf. Insgesamt gibt es 14 mögliche Geschenke zu bekommen, wenn man ihn drückt. Die 14 Möglichkeiten sind aber aufgeteilt:

Man bekommt immer ein Geschenk, mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

10 Geschenke

Man bekommt seltenes ein Geschenk, mit gleicher Wahrscheinlichkeit

4 Geschenke

Wie oft muss ich den Knopf drücken, um ein seltenes Geschenk zu bekommen?

Schon mal Danke im Voraus!

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Wie oft muss ich den Knopf drücken, um ein seltenes Geschenk zu bekommen?

Da fehlen noch Angaben

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit?
• Mit oder ohne Zurücklegen? Also ist die Chance gleichbleibend oder hätte man nach 14x drücken alle Geschenke bekommen?

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Als Beispiel:

Du drückst, bekommst ein Geschenk und danach sind nur noch 13 Geschenke vorhanden. Um in diesem Szenario mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit ein seltenes Geschenk zu bekommen, müsstest du 11 mal drücken!

Zwar ist die Wahrscheinlichkeit recht gering, dass du es mit z. B. dem zehnten Knopfdruck immer noch nicht bekommen hast:

$p\ =\ 1\ -\ \frac{10!\ \cdot\ 4!}{14!}$ $p\ \sim\ 0,1\%$

Aber auch eine 99,9% Chance ist keine Garantie!

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Als Gegenbeispiel:

Du drückst, bekommst ein Geschenk und ein Elfe stellt das gezogene Geschenk in Windeseile neu her, so dass bei jedem mal drücken immer 14 Geschenke (4 seltene und 10 normale) zur Verfügung stehen.

In diesem Szenario müsstest du unter Umständen dein Leben lang drücken und hättest es immer noch nicht bekommen.

Diesbezüglich könnte man z. B. nur die Unwahrscheinlichkeit berechnen, dass du es nach x mal drücken immer noch nicht bekommen hättest.

Wenn du hier eine 99,9 prozentige Wahrscheinlichkeit haben wolltest, dann müsstest du:

$1\ -\ 0,999\ =\ \left(\frac{10}{14}\right)^x$ $x\ =\ \frac{\log\left(0,001\right)}{\log\left(\frac{5}{7}\right)}$ $x\ \sim\ 20,53$

Du müsstest in dem Fall also rund 21x drücken und hättest damit eine Wahrscheinlichkeit von ca 99,9915% mindestens ein seltenes Geschenk bekommen zu haben.

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Ich hoffe, das hat deine Frage beantwortet. ;-)