Tangente, Normale, Steigungswinkel?

Kann mir jemand bei Aufgabe A helfen bitte?Die Einstiegsaufgabe habe ich schon gelöst.

Answer 1

[LoverOfPi]

Parallel zur berechneten Tangente bedeutet, dass die Tangente an dem Punkt die gleiche Steigung aufweist, es gilt:

$f'\left(x0\right)=f'\left(0.5\right)$ $f'\left(x\right)=3x^2$ $f'\left(0.5\right)=3\cdot0.25=\frac{3}{4}=3x^2\ <->\ \frac{1}{4}=x^2\ <->\ x=\pm0.5$ Die andere Stelle ist x=-0.5

Da die Steigung in diesem Punkt=3/4 ist, und die Tangente dazu parallel sein soll, gilt außerdem:

$m2=-\frac{1}{m1}\ <->\ m_{norm}=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$ Und damit:

$y_{norm}=-\frac{4}{3}x+n$ Setzt man jetzt noch den Punkt P(-0.5/f(-0.5)) mit $f\left(-0.5\right)=\left(-0.5\right)^3-2=-0.125-2=-2.125$ erhält man

$-2.125=-\frac{4}{3}\cdot-0.5+n\ \ \leftrightarrow\ -2.125-\frac{2}{3}=n\ \leftrightarrow\ n=-\frac{67}{24}$ und damit

$y_{norm}=-\frac{4}{3}x-\frac{67}{24}$