Symmetriegruppen und Normalteiler?
Hallo,
Ich habe eine Aufgabe in der folgendes gefragt wird.
1) Erst soll gezeigt werden, dass die Symmetriegruppe des Quadrates die Ordnung |G| = 8 hat.
Dies kann ich einfach zeigen, indem ich die Spiegelungen und Drehungen aufzähle.
2) Dann wird gesagt, dass die Symmmetriegruppe U vom Rechteck eine Untergruppe von G sei.
Diese hat ja eigentlich die gleichen Elemente bis auf die Drehungen um 90 und 270 Grad oder?
3) Als letzes wird gefragt, ob U jetzt ein Normalteiler von G ist.
Hier weiß ich nicht genau wo ich anfangen soll.
U ist ein Normalteiler falls gN = Ng, aber was bedeutet das genau? Und wie zeige ich das?
LG
M.
2) *Bis auf die Drehungen um 90 und 270 Grad und die zwei diagonalen Spiegelungen.
2 Antworten
Erstmal zu 2:
Wenn wirklich nur diese beiden Abbildungen rausgenommen würden, dann hätte die Symmetriegruppe des Rechtecks die Ordnung 6 und könnte keine Untergruppe sein, damit wäre alles weitere hinfällig.
Auch bei den Spiegelungen muss du was herausnehmen.
Genau, jetzt hast du die vier Elemente. Das ist ein Untergruppe (warum?). Jetzt zum Punkt 3.
hN = Nh ist die Definiton vom Normalteiler, es gibt aber eine ganze Reihe von äquivalenten Formulierungen. Eine wäre z. B. die hier:
Für alle n aus N und alle h aus G ist
hnh^(-1) ein Element von N.
Wenn h bereits in N liegt ist das klar (sonst wäre N keine Gruppe). Jetzt musst du das für die übrigen Möglichkeiten auch noch zeigen, dann bist du durch.
Alternativ kannst du dir auch überlegen, welche anderen vierelementigen Untergruppen es noch so gibt. Offenbar ist mit N auch hNh^(-1) für jedes h eine Untergruppe. Gibt es noch mehr Untergruppen von G? Und wie sehen die aus?
Ich tue mich doch sehr schwer mit der Definition des Normalteilers. Nochmal zur Klarstellung, mit meiner Definition gN = Ng:
Wenn ich zeigen will, dass gN = Ng dann zeige ich doch eigentlich, dass die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Also wenn ich mir aus G zB das Element "Drehung um 90Grad" nehme und aus U das Element "Spiegelung horizontal", dann zeige ich, dass wenn ich erst um 90 Grad drehe und dann spiegele oder erst spiegele und dann um 90 Grad drehe das gleiche rauskommen muss oder? (und das für alle Elemente von G und U) Und das ist doch nicht der Fall, also gN ist nicht gleich Ng.
Was verstehe ich falsch an der Definition?
Was du meinst ist:
Für alle g aus G und alle n aus N ist
gn = ng.
Das ist aber nicht gemeint. Es sollen nicht die einzelnen verknüpften Elemente gleich sein, sondern die MENGEN gN und Ng.
Damit das gilt, muss gelten:
Für alle g aus G und alle n N gibt es ein n' aus N, so dass
gn = n'g.
Es kann also durchaus gn was anderes ergeben als ng. Wichtig ist, dass die Menge aller solcher Abbildungen, die aus der Verknüpfung eines g mit allen Elementen aus N entstehen, die gleiche Menge ergibt, wenn man das alles andersherum verknüpft. Aber nicht die einzelnen Elemente!
Vielleicht kannst du dir das für den Extremfall klarmachen: Auf jeden Fall ist die Gruppe selbst ihr eigener Normalteiler. Nun hat aber eine nicht-kommutative Gruppe mindestens zwei Element a, b mit ab nicht gleich ba, sonst wäre sie ja kommutativ.
Trotzdem gilt aG = Ga und auch bG = Gb.
Die Frage nach dem Normalteiler kommt daher, dass Gruppen nicht zwingend kommutativ sind.
Du kennst bestimmt die Gruppe Z/6Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Sie kommt von der Gruppe Z, die man durch die Untergruppe 6Z "teilt".
Das tut man, indem man sagt: In Z/6Z sind zwei Zahlen aus Z gleich, genau dann wenn ihre Differenz in der Untergruppe 6Z liegt.
Das gleich will man nun mit einer beliebigen Gruppe G und beliebigen Untergruppe U machen. Das heißt a=b in der Gruppe G/U genau dann wenn ab^(-1) in U liegt. Oder sollte man lieber sagen "wenn b^(-1)a in U liegt? Denn a=b ist äquivalent zu ab^(-1) = 1 und zu b^(-1)a = 1.
Formt man diese beiden möglichen Bedingungen um, erhält man
"a liegt in b*U" oder "a liegt in U*b".
Das sind im allgemeinen leider 2 verschiedene Aussagen. Man nenne U einen Normalteiler wenn das beides die gleiche Aussage ist. Dann kann man nämlich durch U "teilen".
Entsprechend musst du nachprüfen, dass für jedes einzelne b in G die beiden Mengen bU und Ub identisch sind.
Beispiel:
Die Untergruppe der Quadratsymmetrien, die aus der Identität 1 und einer Spiegelung s besteht ist kein Normalteiler: Sei r die Rotation um 90°.
r{1, s} = {r, rs}
{1, s}r = {r, sr}
Man kann leicht sehen, dass sr ungleich rs ist und diese Mengen deshalb verschieden sind.
Natürlich müssen auch die zwei diagonalen Spiegelungen weg, wie unachtsam von mir.