Sei R ein kommutativer Ring.?
Sei R ein kommutativer Ring. Wir definieren den Grad deg(p) von1 p = a0 + a1x + · · · + anx^n in R[x] als die kleinste Zahl n in N ∪ {−∞}, so daß ai = 0 fur alle ¨ i > n gilt. Hierbei gelte −∞ < k fur jede nat ¨ urliche Zahl ¨ k. 1. Zeigen Sie, daß fur ¨ p, q in R[x] die Ungleichung deg(p + q) ≤ max{deg(p), deg(q)} gilt. Zeigen Sie weiter, daß die Gleichheit nicht immer gilt. 2. Zeigen Sie, daß fur ¨ p, q in R[x] die Ungleichung deg(pq) ≤ deg(p) + deg(q) gilt, wobei −∞ + n = −∞ und n + −∞ = −∞ fur jedes ¨ n in N ∪ {−∞} gelte. Zeigen Sie weiter, daß die Gleichheit nicht immer gilt.
Hallo,
ich benötige Unterstützung bei der Aufgabenstellung und wäre dankbar, wenn mir jemand den Sinn der Aufgabe erklären und idealerweise eine Lösung vorschlagen könnte. Ich stehe momentan etwas auf dem Schlauch und würde mich über Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus für jede Unterstützung.
1 Antwort
Die Aufgabe behandelt das Rechnen mit Polynomen über Ringen. Die Polynome selbst bilden, wenn der Ring der Koeffizienten kommutativ ist, ebenfalls einen kommutativen Ring. deg bezeichnet dabei gerade den Grad (degree) eines Polynoms.
Zwei einfache Beispiele dafür, dass Gleichheit bei den Graden nicht immer gegeben ist:
(1) Sei p gegeben und vom Grad n > 0; sei q = - p
Dann gilt: -Unendlich = deg (0) = deg (p - p) = deg(p + q) < max{deg(p); deg(q)} = max{n; n} = n
(2) Sei nun R nicht nullteilerfrei (zum Beispiel R = Z/6Z) und p_0 und q_0 zwei Nullteiler in R mit p_0*q_0 = 0 (z.B. p_0 = [2] und q_0 = [3])
Dann gilt: - Unendlich = deg(0) = deg(p_0*q_0) < deg(p_0) + deg(q_0) = 0 + 0 = 0
