negative Fakultät?
Warum gibt es negative Fakultätenß ich meine die Fakultät gibt doch an wie viele möglichkeiten es gibt n position zu besetzten. da machen negative Werte doch gar keinen sinn?
5 Antworten
Du musst das geschichtlich sehen:
Erst gab es die Kombinatorik, wo nur ganze Argumente und Funktionswerte interessierten: f1(x)=Fakultät(x)=x!
Aus einer anderen Richtung (Integralrechnung) gab es die Gammafunktion:
f2(x)=Gamma(x) siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion
Später erst wurde bemerkt, dass x! =Fak(x)= Gamma(x+1)
also die gleiche - um 1 Argument verschobene - Funktion ist!
Das passiert dauernd in der Wissenschaft auf dem Weg zur
https://de.wikipedia.org/wiki/Weltformel
Denn alles ist miteinander verbunden und nur der Mensch baut Schubfächer auf!
Nun gibt es sture alte Typen (manchmal auch Lehrer), die das weiter getrennt betrachten und die Fakultät nur für positive ganzzahlige Werte zulassen.
Echte Wissenschaftler und moderne Rechner wie WolframAlpha &
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
{dort ist auch das Bild dazu }
hingegen bauen da keine Grenze auf und lassen nicht nur reelle, sondern auch komplexe Argumente zu: (-0.5+0.6i)!=0.65429287653185257.. -0.71022181485669 i
denn es gibt nicht den einen Algorithmus (Produkt ganzer Zahlen bis x), sondern sehr viele: http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/
Integrale, Reihenentwicklung, hypergeometrische Funktionen, Iterationen,...
mit all ihren Vor- & Nachteilen. So kann man leicht (10^80)! =1e80! berechnen, ohne die Anzahl der Atome des Weltalls nacheinander zu multiplizieren!
Eine Sonderrolle spielen nun die ganzzahligen negativen Werte, denn die Funktionsergebnisse sind Polstellen wie bei 1/x: Funktionswerte können nur als Grenzwert betrachtet werden, der je nach Richtung, aus der man kommt +UNENDLICH oder -Unendlich beträgt.
Natürlich kann man auch ein Algorithmus basteln, der (-1)*(-2)*...(-x)
berechnet, aber der hat nichts mit x! zu tun, sondern ist eine neue Funktion:
f3(x)={Prod (-n),n=1...x } = (-1)^x * x! siehe Bild 2
Zugabe: Da (-1)^x=cos(Pi*x) + i * sin(Pi*x)
könnte man auch den imaginären Term weglassen und statt (-1)^x
ein cos(Pi*x) als weiche Vorzeichenwechselfunktion einsetzen.
Das würde dann nur die blaue Kurve bedeuten.
schau dir mal hier die seite 15 an .
http://www.mathe-seiten.de/fakultaet.pdf
für negative ganze Zahlen , ist die Fakultät nicht vorhanden.
Dein Problem ist vielleicht , daß du 7! nur als verkürzte Schreibweise für 7*6...*1 kennst. Und dann hörst du , daß es auch negative Fakultäten gibt. Vielleicht dachtest du -7! wäre -7*-6*...-1........ aber das gibt es nicht.
Wollte man aber für -7*-6*.....-1 eine Schreibweise einführen, dürfte man die nicht -7! nennen.
Und was immer du nicht versteht, Mathematik schaut erst mal nicht auf Anwendung oder ein konkretes Beispiel . Man arbeitet, zeigt und beweist auf Vorrat. Und oft können Anwender (Techniker oder Ingenieure z.B) die Dinge nutzen.
Hallo,
Mathematik schaut erst mal nicht auf Anwendung oder ein konkretes Beispiel . Man arbeitet, zeigt und beweist auf Vorrat.
Bei der Frage "Wofür braucht man das?" oder der Bemerkung "Das braucht doch kein Mensch" bin ich meist verdutzt, weil ich mir die Frage nach einem Nutzen oder einer Anwendung so gut wie nie stelle.
Es gibt mathematische Probleme und Verallgemeinerungen von Konzepten, die Mathematiker einfach interessant finden. Deshalb beschäftigen sie sich damit.
Unter denen, die nach einer Anwendung oder einem Nutzen eines mathematischen Konzepts fragen, gibt es meiner Erfahrung nach zwei Arten von Menschen:
a) die Ingenieure und Physiker, wobei Physiker die Mathematik auch manchmal vorantreiben, weil sie eine Weiterentwicklung in ihrem speziellen physikalischen Problem benötigen, und die Ingenieure, die die Mathematik konkret anwenden. Für die letzteren ist die Mathematik ein Handwerkzeug.
b) die, denen die Mathematik schwerfällt oder die von ihr überfordert sind. Bei denen ist der entrüstete Ausruf, dass das doch kein Schwein braucht, oder die Frage nach einer Anwendung eine Schutzreaktion: Hilfe, ich verstehe das nicht. Solange du mir nicht beweist, dass ich das brauche, werde ich mich nicht bemühen das zu verstehen.
Die Leute der Kategorie a) können durch das Aufzeigen von Anwendungen motiviert werden, die der Kategorie b) können beim Zeigen eines konkreten Nutzens in Panik geraten, weil das bedeutet, dass es eventuell doch gut wäre, den Teil der Mathematik zu verstehen, man sich aber dazu nicht in der Lage fühlt.
Die Schwierigkeit eines Unterrichtenden besteht darin, bei der Frage "Wozu braucht man das?" richtig zu reagieren, denn wird sie von einem Überforderten gestellt, kann ein Anwendungsbeispiel sogar abschreckend wirken.
Trifft dann noch der "mathematische Typ", den die Anwendung nicht interessiert, mit dem Überforderten zusammen, wird es schwierig. Um angemessen zu reagieren, braucht es pädagogische Qualitäten, die nicht jeder hat.
Ich z.B. habe viel Zeit gebraucht überhaupt zu verstehen, dass hinter der Frage "Wozu braucht man das?" etwas anderes stehen kann als die direkte Bedeutung.
Gruß
Das ist so, als ob du fragst, warum es Multiplikationen für negative Zahlen gibt, wo doch a*b die Fläche eines Rechtecks mit Länge a und Breite b bestimmt.
Die Fakultät ist eine Funktion, die unter anderem in der Kombinatorik Anwendung findet, aber nicht ausschließlich.
Nochmal: es ist eine Funktion, die dort eingesetzt wird, wo sie nützlich ist!
Von dir jetzt anzunehmen, weil du keine anderen Anwendungen kennst, gäbe es keine hat schon etwas von .... naja, ich lass das mal.
Zum Beispiel wird sie verwendert bei der Taylorreihenentwicklung etwa für die Winkelfunktionen oder die Exponentialfunktion.
Gerade die "negative Erweiterung", die Gammafunktion ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen in der Analysis und Funktionentheorie.
https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Definition
"Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert."
Was meinst du denn mit "negative Fakultät"?
Fakultät einer negativen Zahl oder negatives Berechnungsergebnis?
Hast du ein Beispiel?
fakultät von .3 zum beispiel.. also generell die Fakultät von einer negativen Zahl
.3? Meinst du -3?
Fakultäten (im eigentlichen Sinn) sind nur für positive ganze Zahlen definiert.
Es gibt eine Funktion, die Gammafunktion, welche die Fakultät auf die komplexe Zahlenebene erweitert, also z.B. auch für rationale Zahlen - mit Ausnahme der Zahlen 0, -1. -2, -3, ....
Mit dem Beispiel -3 hast du also kein Glück....
https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Definition
"Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert."
In welchem Zusammenhang fragst Du?
wo denn sonst?