Monotonieverhalten bei Funktion ohne Extrempunkt?
Hallo, ich soll das Monotonieverhalten einer Funktion Mithilfe der 1. Ableitung untersuchen. Ich hab also die 1. Ableitung gebildet und diese null gesetzt. Meine Funktion hat aber keinen Extrempunkt. Kann ich hieraus bereits Schlüsse ziehen? Wenn nicht, wie muss ich weiter vorgehen?
Gegebene Funktion: f(x)=(2*(e^x)-4)/((e^x)+4)
2 Antworten
Dass bedeutet, dass deine Funktion entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, und das über den ganzen Definitionsbereich. Würde sich das Steigungsverhalten bzw. das Vorzeichen der Steigung ändern, muss es ja mindestens eine Nullstelle der Ableitungsfunktion geben - das schließt du aber ja aus.
Es reicht also aus, nur einen Funktionswert der Ableitung zu berechnen, um das Steigungsverhalten über das den ganzen Definitionsbereich zu bestimmen. Z. B. so:
f'(0) = 12/25 also f'(x) > 0 für alle x∈ℝ.
f ist also überall streng monoton fallend.
So ganz kann ich dir leider nicht folgen. Eine Nullstelle der Funktion gibt es, das habe ich ja nicht verneint
Ich rede von Nullstellen der Ableitungsfunktion f'. f' besitzt keine Nullstellen, f schon.
Bei dieser komm ich aber auch auf ein anderes Ergebnis. Ich habe eine Nullstelle bei x=-6/5 berechnet.
f' hat keine Nullstelle.
Die Nullstelle von f ist ln(2).
Oben habe ich mich aber auch vertan. Es sollte nicht
f(0) = –2/5 also f(x) < 0 für alle x∈ℝ.
sondern
f'(0) = 16/25 also f'(x) > 0 für alle x∈ℝ.
dort stehen.
Ich habe selber einen Denkfehler gehabt. Habe die Antwort korregiert, vielleicht ist es jetzt einleuchtend.
Meine errechnete Ableitung der oben gegebenen Funktion ist folgende: f'(x)=16*(e^x/((e^x)+4)²
Das ist korrekt.
Wenn ich also f'(x)=0 berechne, erhalte ich kein Ergebnis. Also keinen Extrempunkt.
Genau, f' hat keine Nullstelle. Das bedeutet, dass entweder alle Werte von f' über- oder unterhalb der x-Achse liegen.
Suchst du dir nun eine Stelle aus, z. B. x = 0, siehst du, welches Vorzeichen nun vorliegt: f'(0) = 12/25 > 0. Alle Funktionswerte liegen also über der x-Achse und somit ist f streng monoton steigend.
Soweit ich das jetzt aber aus den anderen Antworten richtig verstanden habe, muss ich einen (oder mehrere) x-Werte in f'(x) einsetzen um das Vorzeichen und damit das Monotonieverhalten zu prüfen, und nicht in die ursprüngliche Funktion f(x).
Eine Stelle reicht. Denn das muss für alle anderen Stellen auch gelten (also das Vorzeichen des Funktionswertes). Denn würde sich das Vorzeichen ändern, müsste es eine Nullstelle geben - die hat f' aber nicht.
Du musst dann zeigen, dass dann für alle x € D , f‘(x)>0 oder <0 gilt.
So ganz kann ich dir leider nicht folgen. Eine Nullstelle der Funktion gibt es, das habe ich ja nicht verneint. Bei dieser komm ich aber auch auf ein anderes Ergebnis. Ich habe eine Nullstelle bei x=-6/5 berechnet.
Meine errechnete Ableitung der oben gegebenen Funktion ist folgende: f'(x)=16*(e^x/((e^x)+4)²
Wenn ich also f'(x)=0 berechne, erhalte ich kein Ergebnis. Also keinen Extrempunkt.
Soweit ich das jetzt aber aus den anderen Antworten richtig verstanden habe, muss ich einen (oder mehrere) x-Werte in f'(x) einsetzen um das Vorzeichen und damit das Monotonieverhalten zu prüfen, und nicht in die ursprüngliche Funktion f(x).
Hab ich dich nur missverstanden oder bin ich jetzt komplett verwirrt? :-)