Mittelwertsatz Erklärung?

Kann mir jemand die Aufgabe erklären? Selbst mit der Lösung verstehe ich es nicht.

Danke im Voraus :)

Answer 1

[evtldocha]

Nimm die mittlere Gleichung (Gleichungsketten wie diese enthalten immer viele Gleichungen, hier sind es 6).

$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=f'\left(\zeta\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\cdot\ x$ $\sqrt{1+x}-1\ =\ f'\left(\zeta\right)\cdot x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ +1$

$\sqrt{1+x}=1+f'\left(\zeta\right)\cdot x$

Jetzt setzte f'(ζ) ein und Du bekommst:

$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2\sqrt{1+\zeta}}$

Da nun aber $\zeta\ >0\$ ist, gilt:

$\sqrt{1+\zeta}\ >\sqrt{1}\ \to\frac{1}{\sqrt{1+\zeta}}<\frac{1}{\sqrt{1}}=1$

Also muss (x war ja auch >0):

$1+\frac{x}{2\sqrt{1+\zeta}}\ \le1+\frac{x}{2\sqrt{1}}=1+\frac{1}{2}x$ sein

Die Kenntnis der Aussage des Mittelwertsatzes (der Differentialrechnung) setzt man hier natürlich voraus.

Comments

[Javahacker]

Danke dir :)

[evtldocha]

@Javahacker

Gerne.