Mengenlehre: kann mir jemand bei diesem Beweis helfen?
Hallo,
Ich muss folgende aussage beweisen/widerlegen
Leider habe ich absolut keine Ahnung wie ich da vorgehen soll. Ich weiß aber was eine Familie von Mengen sind (Definition etc sind soweit bekannt)
Kann mir jemand weiter helfen?
Danke schon mal im Voraus
2 Antworten
Auf den ersten Blick würde ich dir empfehlen ein Gegenbeipiel zu konstruieren. Am Einfachsten vielleicht so dass die A_i disjunkt sind, dann ist ihr Schnitt nämlich leer und links steht nur die Vereinigung aller B_i, während rechts eine kleinere Menge steht.
Beachte, dass du das Beispiel nicht mit einer abzählbar unendlichen Mengenfamilie durchführen mußt, es reicht wenn du ein Gegenbeispiel im Endlichen findest.
Mengenlehre ist reine Gehirnverknotung. Es kommt immer darauf an genau zu wissen, in welcher Menge man sich gerade befindet und was ihre Elemente darstellen. Das wird besonders wichtig wenn Potenzmengen, also Mengen von Mengen, dran kommen und diese auch noch überabzählbar sind.
Du solkst nicht zeigen dass die A_j disjunkt sind, sondern für ein Gegenbeispiel annehmen dass sie das sind. Die Aussage ist dass das für beliebige Mengenfamilien gilt, da reicht dann ein geeignet konstruiertes Gegenbeispiel.
Wie habe ich das "so schnell" gesehen? Rechts wird von jedem B "sein" A weg genommen, links von allen B nur der Schnitt von allen A. Damit sieht man schon dass links mehr Elemente als rechts stehen müssen.
Allgemein macht es die Erfahrung und üben üben üben. Mathematik auf Hochschulniveau IST nun mal schwer.
hey ich möchte heute das Kapitel Familien von mengen schließen, möchte vorher aber noch kurz wissen ob ich das obige Beispiel allgemein widerlegen kann. (Also ohne Gegenbeispiel)
Als extra frage wollte ich das jetzt nicht stellen, also antworte einfach wenn du Lust hast
∪(B_n) / ∩(A_n) ⊂ ∪(B_n) / (A_n)
Linke Seite:
Sei x∈ (∪(B_n) / ∩(A_n)) dann folgt daraus, dass es ein Index j ∈ N mit x ∈ B_j und x∉ A_j
Erklärung: Wenn x ein Element aus der Vereinigung ∪(B_n) ist, dann muss es mindestens ein B_j geben welches das x Element enthält.
x∉ ∩(A_n) : wenn x kein Element vom Durchschnitt ist, dann darf x nicht in allen A_i’s liegen. Das bedeutet es muss mindestens ein A_j geben welches das Element x nicht enthält.
Rechte Seite:
Sei x∈ ( ∪(B_n) / (A_n) ) dann folgt daraus, dass es ein Index j ∈ N mit x ∈ B_j und x∉ A_j.
Wenn x ein Element aus der Vereinigung von B_n ist, dann existiert mindestens ein B_j welches das x enthält.
x∉ ∪(A_n) :Wenn x kein Element aus der Vereinigung von A_n ist dann kann x doch auch nicht im Durchschnitt sein?
sorry für die vielen fragen bezüglich Mengenlehre, mich macht es total Wahnsinnig das ich das nicht verstehe
Solche Aufgaben kann man nicht einfach "allgemein" widerlegen. Denn du mußt (mindestens) ein x finden, was in der linken, aber nicht in der rechten Menge ist. Und das bedeuet gerade direkt Gegenbeispiele zu finden.
Diese Beziehung kann nicht bewiesen werden da sie i.A. falsch ist.
Um das einzusehen, wähle man A(n) = B(n) = {n} für alle n.
Dann ist die rechte Seite der Beziehung die leere Menge (als Vereinigung leerer Mengen). Die linke Seite aber ist NICHT die leere Menge, da sie die Menge aller natürlichen Zahlen ist.
Das ist im wesentlichen eine mögliche Konkretisierung dessen was ich empfohlen habe, nämlich die A_i so zu wählen dass sie disjunkt sind. Danke!
ich hab nicht so ganz verstanden was du meinst. Das sind ja irgendwelche beliebige Mengen wie soll ich da zeigen das A_i disjunkt ist? sind außerdem B_i und A_i verschiedene Mengen, oder ist A_i einfach nur der Durchschnitt von B_i?
Und wie konntest du direkt sehen, dass man hier ein Gegenbeispiel verwenden sollte? mir fällt das immer so schwer direkt einen Lösungsweg zu sehen😐 hast du da einige tipps wie ich das trainieren könnte? du scheinst dich echt gut damit auszukennen.. ich lern echt viel Mathe und mache auch oft Übungen aber irgendwie scheint sich nicht viel zu ändern obwohl ich wirklich interessiert bin. Das ist etwas frustrierend wenn man bedenkt, dass da wirklich ein Wille ist aber kein Weg😅