Mengen Zeichnen?
Hallo,
ich stehe hier vor einer vorgerechneten Aufgabe:
Ich verstehe nicht ganz, wie ich so etwas einzeichne.
Kann mir das jemand erklären?
Danke im Voraus.
LG
1 Antwort
Denke die Menge I sollte klar sein.
Zu S1:
Sei U := (0,0) der Ursprung.
Nehme dir einen Punkt P = (x,y) in S1 und setze X:=(x,0), dann ist
|UX| = x,
|PX| = y
und P, X und U bilden die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Nach dem Satz des Pythagoras gilt nun
|UP|^2 = |UX|^2 + |PX|^2 = x^2 + y^2 = 1.
Also gilt für jeden Punkt P in S1:
|UP| = 1.
Die Punkte in S1 sind also genau diejenigen, deren Abstand zum Koordinatenursprung 1 beträgt.
Alle Punkte in S1 bilden somit den Einheitskreis.
Zu S1 + I:
Es ist
S1 + I = {s + t | s in S1 und t in I}
= ∪{S1 + t | t in I}.
Nehme nun t in I und setze M:=(t,0). Sei P ein Punkt in S1 + t, dann gibt es (x,y) in S1 mit P = (x + t, y). Setze nun X := (x + t, 0), dann gilt
|MX| = x,
|PX| = y
und M, P, X bilden ebenfalls die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Analog zu oben folgt also
|MP| = 1.
S1 + t ist also ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius 1. Der Einheitskreis S1 wird also um den Wert t in Richtung der x-Achse verschoben.
S1 + I ist nun die Vereinigung aller solche Kreise S1 + t mit t in I.
Also ist P in S1 + I genau dann, wenn P für ein t in I auf einem Kreis mit Mittelpunkt (t,0) und Radius 1 liegt.
Allgemein kann man für eine beliebige Teilmenge M in lR^2, die Menge M + p für einen Punkt p = (s,t) in lR^2 als das Verschieben der Menge um den Wert s in Richtung der x-Achse und um den Wert t in Richtung der y-Achse verstehen.
Dementsprechend ist M + P für eine Teilmenge P in lR^2 die Vereinigung aller solcher Verschiebungen M + p für p in P.
Es kommt darauf an wie du S1•I definieren würdest. Sei • die komponentenweise Multiplikation
• : lR^2 x lR^2 -> lR^2
(x,x) -> x • y := (x1 • y1, x2 • y2).
und
S1•I := {s • t | s in S1 und t in I}.
Dann gilt S1•I = [-1,1] x {0}.
Anschaulich kannst du die Menge M•p für eine Teilmenge M in lR^2 und einen Punkt p = (s,t) in lR^2 als Strecken/Stauchen von M um den Faktor s in Richtung der x-Achse und um den Faktor t in Richtung der y-Achse verstehen.
Die Menge M•P für eine weitere Teilmenge P in lR^2 ist demnach die Vereinigung aller solcher M+p für p in P.
Hallo,
vielen Dank für die gute und ausführliche Antwort!
Ich hätte noch eine Frage:
Sagen wir ich würde S1 und I nicht addieren sondern multiplizieren.
Würde ich dann analog vorgehen?
Also z.B. einen Punkt a in I nehmen mit M(a,0) als Mittelpunkt, X(a*x,0) als Punkt X und P(a*x,y) als Punkt P und dann darüber vereinigen?
Also die Vereinigung über S1*a mit a in I ?
Danke und LG