Maximale Leistung bei gegebener Schaltung?

Hi! Wie muss ich Rn wählen für maximale Nutzleistung Pn?

R beträgt 50 Ohm und U0 24V.

Erklärung bitte :/

Answer 1

[140Colin]

Dieses Vorhaben nennt sich "Leistungsanpassung", dafür müssen der Innenwiderstand der Spannungsquelle und der Lastwiderstand gleich groß sein.

Ich bin mir aber nicht 100%ig sicher, wie mit den beiden Innenwiderständen vorzugehen ist. Meine Vermutung wäre, dass man den Gesamtwiderstand der beiden R mit den Gesetzen einer Parallelschaltung ausrechnet.
Die Spannungsquelle kann dabei (glaube ich) als Durchgang (0 Ohm) betrachtet werden, also wäre dann R_i = 25 Ohm.

Somit müsste auch R_L = 25 Ohm sein.

Comments

[Liessssoooor]

25 Ohm stimmen, wie genau kommst du darauf?

[140Colin]

@Liessssoooor

Das freut mich!

Schau dir mal nur die reale Spannungsquelle (bis zu den Klemmen) an und ignoriere den Lastwiderstand.
Wenn du da die ideale Spannungsquelle "kurzschließt", dann bleibt eine Parallelschaltung aus den beiden Innenwiderständen.
Der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung berechnet man ja mit
1/R_ges = 1/R_1 + 1/R_2
da beide 50 Ohm haben kommt da dann 25 Ohm raus.

Answer 2

[mihisu]

Die Quellspannung U[0] teilt sich in der Reihenschaltung auf den Widerstand R und auf die Parallelschaltung aus R und R[n] entsprechend dem Verhältnis der Widerstände auf. An der Parallelschaltung aus R und R[n] fällt dann die folgende Spannung U[n] ab...

$U_n=\frac{R\parallel R_{n}}{R+\left(R\parallel R_{n}\right)}\cdot U_0$

$=\frac{\frac{R\cdot R_{n}}{R+R_n}}{R+\frac{R\cdot R_{n}}{R+R_n}}\cdot U_0$

$=\frac{R\cdot R_{n}}{R\cdot\left(R+R_n\right)+R\cdot R_{n}}\cdot U_0$

$=\frac{R_{n}}{R+R_n+R_{n}}\cdot U_0$

$=\frac{R_{n}}{R+2\cdot R_n}\cdot U_0$

An dem Widerstand R[n] fällt dann die folgende Leistung P[n] ab...

$P_n=U_n\cdot I_n=U_n\cdot \frac{U_n}{R_n}=\frac{1}{R_n}\cdot U_n^2$

$P_n=\frac{1}{R_n}\cdot \left(\frac{R_{n}}{R+2\cdot R_n}\cdot U_0\right)^2$

$P_n=\frac{1}{R_n}\cdot \frac{R_{n}^2}{\left(R+2\cdot R_n\right)^2}\cdot U_0^2$

$P_n=\frac{R_{n}}{\left(R+2\cdot R_n\right)^2}\cdot U_0^2$

Untersuche nun die durch

$f(x)=\frac{x}{\left(R+2\cdot x\right)^2}$

(für positive reelle Werte x) gegebene Funktion f auf Extrema...

$f'(x)=\frac{1\cdot \left(R+2x\right)^2-x\cdot 2\cdot \left(R+2x\right)\cdot 2}{\left(R+2x\right)^4}$

$f'(x)=\frac{R+2x-4x}{\left(R+2x\right)^3}$

$f'(x)=\frac{R-2x}{\left(R+2x\right)^3}\begin{cases}> 0 & \text{ für }0<x<\frac{R}{2}\\= 0 & \text{ für }x=\frac{R}{2}\\< 0 & \text{ für }x>\frac{R}{2}\end{cases}$

Die Funktion wird demnach an der Stelle x = R/2 maximal.

Die Leistung P[n] wird demnach für R[n] = R/2 maximal, also für...

$R_{n}=\frac{R}{2}=\frac{50\,\Omega}{2}=25\,\Omega$