Mathematisches "Problem"?
Gibt es eine Formel, um x hoch x = 23 zu bestimmen?
1 Antwort
Exakt nicht, nein, aber es gibt natürlich Näherungsverfahren, um das numerisch zu berechnen, z.B. das Newton-Verfahren.
Meiner Meinung nach reicht doch, wenn x^x differenzierber ist und man die Ableitung kennt.
Aber viel Freude hat man mit der Newton-Iteration wirklich nicht. Die Funktion x^x - 23 hat in der Nähe der Nullstelle (etwa x = 2,9) schon einen unangenehm hohen Anstieg.
Vergiß meinen Kommentar. Das Verfahren funktioniert. Ich hatte es ausprobiert, vergessen, 23 abzuziehen, und bin auf falsche Ergebnisse gekommen.
Man muß natürlich f(x)=0, also x^x-23=0 benutzen.
Wenn man mit x0=3 anfängt, ist man nach ein paar Iterationen schon am Ziel.
Ableitung von f(x)=x^x ist übrigens f'(x)=x^x*(ln(x)+1)
Das Verfahren wird quadratisch konvergieren, weil die Nullstelle einfach ist. Das sollte wirklich fix gehen.
Mein Bauchgefühl sagt mir, dass es wesentlich besser wird, wenn man die Gleichung logarithmiert: f(x)=x·ln x−23; f'(x)=ln x+1.
Damit würdest du eine andere Gleichung lösen, nämlich die, in der x*ln(x) = 23 ist, was aber nicht gefragt ist. Oder habe ich das falsch verstanden?
Sorry, ich meinte natürlich f(x)=x·ln x−ln(23).
Also einfach bei x^x=23 den Logarithmus auf beiden Seiten ziehen.
Das Newton-Verfahren funktioniert hier nicht, da x^x kein Polynom ist.