Mathematik stochastik: kennt einer ideen wie man diese aufgaben lösen könnte?
1 Antwort
a) hier braucht man keine Ideen, sondern nur die Formel der Binomialverteilung bzw. einen fähigen Taschenrechner...
Formel: P(X=k)=(n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
es gilt: n=20 und p=0,6
a1) Wahrscheinlichkeit für genau 12 Treffer: P(X=12)=(20 über 12) * 0,6^12 * 0,4^8
a2) höchstens 10 Treffer: P(X<=12), also die Summe von P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=12).
Mit dem TR wird das mit der Funktion binomCDF(n;p;k) berechnet, also hier: binomCDF(20;0,6;12)
a3) mindestens 16 Treffer bedeutet P(X>=16), und das ist dasselbe wie 1-P(X<=15).
das nun wieder mit binomCDF berechnen
b) um mit der Normalverteilung "vernünftig" rechnen zu können, muss die Laplace-Bedingung erfüllt sein, die da besagt, dass die Standardabweichung sigma größer als drei sein muss, d. h. sigma=Wurzel(n*p*q)>3 <=> n*p*q>9 <=> n>9/(np)
also in diesem Fall: n>9/(0,6*0,4) <=> n>37,5, d. h. ab einer Anzahl von 38 Durchgängen kann hier mit der Normalverteilung gerechnet werden
c) gesucht ist das Intervall [a;b], in dem sich mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit dieTrefferzahlen befinden, d. h.:"mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit trifft der Schütze zwischen a- und b-mal".
Dazu gibt es bestimmte Regeln (Sigma-Regeln) mit denen man arbeiten kann. Eine davon besagt, dass 95% der Treffer sich im "Umkreis" von 1,96sigma um den Erwartungswert µ (=n*p) befinden, d. h. im Intervall [µ-1,96sigma<X<µ+1,96sigma], wobei hier links abgerundet und rechts aufgerundet werden muss, sonst liegt man mit dem Intervall evtl. unter 95%, d. h. aus [3,8<X<7,1] müsste man [3<X<8] machen, denn die Wahrscheinlichkeit für das Intervall [4<X<7] wird unter 95% liegen.