Mathematik: Stochastik?
- Bei einem Glücksspiel verlangt der Veranstalter 2 € Einsatz.
- Aus einer Urne mit 4 weißen und 6 schwarzen Kugeln wird eine Kugel gezogen, wenn diese weiß ist, so erhält der Spieler 4 € ausgezahlt.
- Ist das Spiel fair? Begründen Sie mit einer geeigneten Rechnung.
Kann mir bitte einer helfen :(
1 Antwort
Um festzustellen, ob das Spiel fair ist, müssen wir den erwarteten Gewinn des Spielers berechnen und sehen, ob er gleich dem Einsatz ist.
Die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \), da es insgesamt 4 weiße Kugeln und 10 Kugeln insgesamt gibt.
Wenn eine weiße Kugel gezogen wird, erhält der Spieler 4 €, ansonsten verliert er seinen Einsatz von 2 €.
Also, der erwartete Gewinn des Spielers ist:
\[ E(\text{Gewinn}) = (\text{Wahrscheinlichkeit einer weißen Kugel}) \times (\text{Auszahlung bei weißer Kugel}) + (\text{Wahrscheinlichkeit einer schwarzen Kugel}) \times (\text{Auszahlung bei schwarzer Kugel}) \]
\[ E(\text{Gewinn}) = \left(\frac{2}{5}\right) \times (4€) + \left(\frac{3}{5}\right) \times (-2€) \]
\[ E(\text{Gewinn}) = \frac{8}{5} - \frac{6}{5} = \frac{2}{5} \]
Der erwartete Gewinn des Spielers beträgt also \( \frac{2}{5} \) €.
Da der erwartete Gewinn des Spielers (2/5 €) kleiner ist als der Einsatz (2 €), ist das Spiel nicht fair aus Sicht des Spielers. Der Spieler kann im Durchschnitt einen Verlust von \( \frac{3}{5} \) € erwarten.