Mathematik: schweres Anwendungsproblem?
Hallo,
es geht um die folgende Aufgabe.
Ich finde keinen Ansatz und einen Hinweis gibt es zu dieser Aufgabe hinten im Buch auch nicht.
Hat jemand eine Idee, wie man das zeigen könnte?
Ist das richtig so?
2 Antworten
Das ist das sogenannte "Ham Sandwich Theorem".
Betrachte zunächst nur die Schreibe Brot.
Fine zu jedem Winkel Alpha in [0,π] eine Gerade, die das Brot zwei teilt.
Man kann davon ausgehen, dass diese Gerade stetig von Alpha abhängt, da kleine veränderungen von Alpha nur dazu sorgen, dass die Gerade sich nur ein wenig veränden muss.
Diese Gerade stellt die Schnittlinie dar.
Betrachte nun die Funktion f, welche für Alpha angibt, wie groß der Anteil vom Schinken ist, der auf der "linken" Seite von der gerade ist.
Angenommen es gilt f(0) <= 1/2
Daraus folgt, dass f(π) >= 1/2 ist (weil du bei dem Winkel π das Gegenstück vom Schinken hast)
Da die Schnittgerade stetig von Alpha abhängt, ist f auch stetig von Alpha.
Nach dem Zwischenwertsatz existiert somit also ein alpha sodass f(Alpha)=1/2 gilt.
Also ich habe verstanden, warum die Wurst halbiert werden kann. Ich verstehe nur nicht, wieso das für das Brot auch gilt.
Wie gesagt, du hast für jeden Winkel Alpha eine Schnittlinie, die das Brot halbiert. Die Linie hängt statig von Alpha ab.
Und du weißt dass es einen Winkel gibt, wo die linke Seite kleiner als die hälfte ist, und einen Winkel wo die linke Seite größer ist.
Mit dem Zwischenwertsatz folgt dann, dass es einen Winkel gibt, wo auch die Wurst halbiert wird.
Habe oben ein Foto ergänzt. Kann man das so machen?
Aber kann man es nicht so machen, dass man die Differenz einfach betrachtet?
Und wenn ich zusätzlich noch sage, dass P im Schwerpunkt des Wurstbrotes liegen muss?
Angenommen es gilt f(0) <= 1/2
Daraus folgt, dass f(π) >= 1/2 ist (weil du bei dem Winkel π das Gegenstück vom Schinken hast)
Weil ich nicht verstehe, wieso bei beiden Winkeln (0 und Pi) das Brot halbiert wird. Dass bei beiden Winkeln die Wurst halbiert wird, verstehe ich. Aber auch nur dann, wenn es einen fixen Punkt gibt, um den sich die Gerade dreht. Aber woher will man wissen, dass nach der Drehung das Brot immer noch halbiert wird?
Weil ich nicht verstehe, wieso bei beiden Winkeln (0 und Pi) das Brot halbiert wird.
Weil fûr jeden Winkel Alpha die gerade so halbiert wird, sodass das Brot halbiert wird.
Dass bei beiden Winkeln die Wurst halbiert wird,
Wird sie aber notwendigerweise nicht. Es ist nur garantiert, dass für einer der beiden Winkel der Wurstanteil kleiner oder gleich 1/2 ist, und für den anderen größer oder gleich 1/2.
Aber auch nur dann, wenn es einen fixen Punkt gibt, um den sich die Gerade dreht.
Das muss nicht unbedingt sein. Zumindest musst du das nicht voraussetzen.
Aber woher will man wissen, dass nach der Drehung das Brot immer noch halbiert wird?
Weil das nach Voraussetzung gilt.
Weil das nach Voraussetzung gilt.
Kann ich nicht einfach voraussetzen, dass die Gerade das Wurstbrot fair aufteilt?
Dann wäre die Aufgabe gelöst...
Weil fûr jeden Winkel Alpha die gerade so halbiert wird, sodass das Brot halbiert wird.
Die Gerade wird halbiert?
Jetzt checke ich gar nichts mehr...
Ok... für mich nochmal zum Nachvollziehen...
Wenn man einen Winkel Alpha wählt, kann man eine Gerade mit diesem Steigungswinkel finden, sodass die Brotscheibe halbiert wird.
Somit finden wir auch eine Gerade für den Fall, dass Alpha=0 ist.
Dann betrachten wir die Fläche der Wurst, hier auf der linken Seite.
Da die Gerade identisch bleibt, wenn wir den Winkel Alpha=Pi betrachten, hat sie sich nicht verschoben.
Wir betrachten nun aber nun die Fläche der Wurst gegenüber der vorherigen Fläche.
Mit der Annahme, dass die Funktion, die jedem Winkel die zur Geraden linken befindliche Wurst-Fläche zuordnet stetig ist, können wir mit den Zwischenwertsatz begründen, dass ein Winkel existiert, sodass die Wurst-Flächen gleich sind.
Aber woher ist garantiert, dass bei diesem Winkel die Gerade immer noch die Wurstscheibe halbiert, denn je nach Winkel muss die Gerade dafür doch verschoben werden.
Eine interessante Aufgabe die ich noch gar nicht kannte. Natürlich haben sich schon andere damit befasst, eventuell hilft dir dies
https://scienceblogs.de/mathlog/2020/10/02/us-wahlen-und-logik/3/
Hinweis: Teile zunächst mit einer Geraden eine der beiden Mengen. Dies ist immer möglich. Prüfe in welcher Form die zweite Menge geteilt wird. Ordne das Verhältnis einer Funktion der ursprünglichen Geraden zu. D.h. jede Gerade, die die Menge M1 in zwei gleichflächige Hälften teilt, erhält ein Maß, nämlich das Verhältnis in dem sie M2 teilt. Zeige dass diese Zuordnung eine stetige Funktion ist (das dürfte ziemlich sicher nicht trivial sein!) und suche mit Hilfe des Zwischenwertsatzes den Punkt an dem sie M2 in zwei gleiche Hälften teilt.
Wenn wir x \in S^1 auf dem Kreis laufen lassen, ändert sich f stetig mit x, und wenn wir in -x ankommen, dann ist f(-x)=B-A=-f(x).
Diesen Teil verstehe ich noch nicht. Kannst du mir den erklären?
Dazu solltest du dir den Text von Jangler noch mal zu Gemüte führen. Denn das "im Kreis laufen" enthält meiner Ansicht nach noch eine Schwäche. Es ist ja nicht gesichert dass wenn die Gerade den Winkel ändert die neue Gerade auch noch die Menge M1 in zwei GLEICHE Teile teilt. Es müssen sich hier also zwei Parameter ändern, nämlich der Winkel den die Gerade gegenüber einer gedachten Nullline hat und der Punkt an dem die Gerade die Nullline schneidet. Zu zeigen sind hier damit zwei Dinge:
- Der Schnittpunkt mit der Nullline für die 50:50 Teilung von M1 hängt stetig vom Winkel ab.
- Das Maß indem M2 geteilt wird hängt stetig vom Winkel ab.
Intuitiv ist das wie Jangler schon geschrieben hat klar, aber mathematisch ist das nicht trivial. erst wenn beides gezeigt ist darf der Zwischenwertsatz angewendet werden.
Das verstehe ich noch nicht.