Mathematik Beweis, Potenzen?
Hallo! :)
Ich habe mich gefragt wie man zeigen kann dass der wert einer Potenz immer größer ist als die Zahl selbst. Das es so ist ist ja selbstverständlich, aber wie würde das in einem Beweis aussehen? Und wie würde man zeigen dass bei einer Basis die zwischen 0 und 1 liegt der Wert immer kleiner wird?
6 Antworten
Für a>1 ist a^x streng monoton steigend. Mit b>1 hast Du dann:
- a^b > a^1 = a
Analog geht das alles für 0<a<1 (streng monoton fallend).
Die strenge Monotonie beweist Du ebenso leicht aus a^x>1 für a>1 und x>0:
- a^y - a^x = a^x*(a^(y-x)-1) > 1*(1-1) = 0 , wenn y>x.
Willst Du a^x>1 auch noch beweisen?
Also, um deine Frage nochmal korrekt zu formulieren (und in der Mathematik ist das meist mehr als die halbe Miete):
Satz: Sei a \in R und a > 1, n \in N, n>1. Dann gilt: a^n > a.
Beweis:
Angenommen, das ist nicht korrekt. Dann gibt es eine Kombination a' und n' mit den obigen Eigenschaften und a'^n' <= a'.
Zuerst beachten wir, dass a'^n" > 0 gilt (Potenzgesetz). Dann können wir auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden; der ist eine monoton wachsende Funktion für positive Zahlen, also bleibt das Ungleichheitszeichen, wie es ist:
ln (a'^n') <= ln (a')
Wegen der Logarithmus-Gesetze gilt
ln (a'^n') = n' * ln(a')
Das setzen wir ein und erhalten:
n' * ln(a') <= ln (a')
Da a' > 1 nach Voraussetzung, ist ln(a')>0; wir dividieren beide Seiten durch diesen Faktor und erhalten:
n' <= 1
was ein Widerspruch zur Annahme ist.
Also gibt es keine Zahlen a', n' für die die Behauptung nicht gilt, ergo gilt die Behauptung für alle Zahlen a, n, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen.
Oh, und für n=1 ist die Behauptung trivial nicht erfüllt. Daher habe ich den Fall oben 'raugenommen.
Aber eine Potenz ist ja also ist dann ja die Potenz kleiner als die Zahl.
Ich sollte vielleicht noch genauer werden, die erste Frage bezieht sich auf natürliche Zahlen größer 1, also ist die Basis genauso wie der Exponent element der natürlichen Zahlen größer als 1.
Die zweite frage war eben genau wie man für eine Basis die zwischen 0 und 1 liegt zeigt, dass der Wert kleiner wird.
Du meinst a^b > a?
Das kann man nicht beweisen, es stimmt nämlich gar nicht.
Hab vergessen dazuzuschreiben, dass der Exponent Element der Natürlichen Zahlen und größer als 1 ist :)
Die Frage ist zu ungenau. Du musst schon sagen aus welcher Menge Basis und Potenz sein sollen. Falls die Potenz eine natürliche Zahl ist, bietet sich die vollständige Induktion an.
Ich meinte eher sowas wie a hoch x ist immer größer als a, wenn x größer als 1 ist, das hätte ich womöglich dazuschreiben sollen :)