Matheaufgabe: Ich habe 1 Million Euro, bekomme dafür 2% Zinsen und ich will das Geld nach 50 Jahren aufgebraucht haben. Wieviel Geld muss ich im Jahr ausgeben?
Hier die Frage etwas allgemeiner formuliert:
Ich habe x Euro auf dem Konto. Jedes Jahr erhalte ich auf das Guthaben auf dem Konto y% Zinsen und jedes Jahr hebe ich vom Konto z Euro ab. Ich will das Geld nach genau n Jahren verbraucht haben. Wieviel muss ich pro Jahr abheben? Wie berechnet man das?
5 Antworten
Abhängig davon, ob du die 1 Millionen Euro erst nach einem Monat Zinsen antastet oder direkt sind es entweder 2640,47€ (dann blieben 0,84€ übrig) oder 2633,51€ (dann hättest du am Ende noch 7,31€ übrig) jeden Monat.
Näherungsweise kannst du dafür ungefähr das halbe Kapital ansetzen um die Zinsen zu ermitteln (Z = (1.000.000 / 2) * 2 / 1200 = 500.000), dies dann zum Kapital hinzufügen => 1.500.000 und dies dann auf die 50 Jahre verteilen => 2.500€ und dann noch mal ca mit (1+(p*4/100)) multiplizieren => 2700€
Das stimmt natürlich nicht ganz, aber ich wüsste gerade ehrlich gesagt nicht, wie man es ohne Schleifenform mit einer Formel berechnen könnte.
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Hier meine Berechnung aus OpenOffice:
Spalte A zeigt das Kapital im entsprechenden Monat und Spalte B die Zinsen die du dafür noch bekommst. Der Kasten sollte selbst erklärend sein. :)
P.S.: Sehe gerade dass es jährlich sein soll, nicht monatlich. So sieht es auf Jahresbasis aus:
Wolfram Alpha kann dir helfen die Formel zu finden :
Für n = 4 muss man folgendes lösen :
x * (1 + y / 100) ^ 4 - (1 + y / 100) ^ 4 * z - (1 + y / 100) ^ 3 * z - (1 + y / 100) ^ 2 * z - (1 + y / 100) * z = 0
Diese Gleichung nach z aufgelöst lautet :
z = x * (1 + y / 100) ^ 4 / ((1 + y / 100) ^ 4 + (1 + y / 100) ^ 3 + (1 + y / 100) ^ 2 + (1 + y / 100))
Für n = 50 folgt die Formel nach demselben Schema, das Muster ist ja hoffentlich ersichtlich.
Für n = 4 erhält man mit x = 1000000 und y = 2 das Ergebnis
z ≈ 257474.26 €
Und das kann man überprüfen :
(((((1000000 - 257474.26) * 1.02 - 257474.26) * 1.02) - 257474.26) * 1.02 - 257474.26) * 1.02 ≈ 0,03 €
3 Cent bleiben übrig, was durch die Rundung zustande kommt.
Anmerkung :
Für n = 50 musst du dir selber ausrechnen, wenn du das wissen willst.
Ich persönlich finde es ist einfacher sich einen Computeralgorithmus in einer Programmiersprache zu programmieren, der das ausrechnet, als es über geschlossene Formeln zu machen.
Ich habe es jetzt mal Wolfram Alpha ausrechnen lassen für deine Aufgabe :
n = 50
x = 1000000
y = 2
Man muss an Ende auf "Approximate Form" klicken, um den Bruch ausrechnen zu lassen, und die Option "More Digits" ist auch hilfreich.
Als Ergebnis erhält man :
z = 31199,22 €
Zitat vom Fragesteller :
und jedes Jahr hebe ich vom Konto z Euro ab.
Meine Rechnung geht davon aus, dass am Anfang des Jahres das Geld vom Konto abgehoben wird, und nicht stückweise über 12 Monate verteilt, weil ich davon ausgegangen bin, dass mit den Zinsen von 2 % der Jahreszins gemeint ist und nicht der Monatszins, weil ich 2 % Monatszinsen unrealistisch finde.
Dann bin ich entweder blind oder er hat die Fragestellung geändert. Ziemlich sicher, dass das am Anfang monatlich stand.
Nein, ich habe die Fragestellung nicht geändert :)
Aber das ist auch egal, ich wollte prinzipiell wissen, wie man das berechnet.
Ok, meine Rechnung geht jedenfalls davon aus, dass am Anfang eines jeden Jahres das Geld für das Jahr abgehoben wird, und es wird mit dem Jahreszins verzinst.
Ach so. Naja, grundsätzlich wirst du sowas ohne Schleifenform nicht berechnen können. Also eine einfache Formel mit 1x Werten einsetzen gibt es dafür nicht.
weil ich 2 % Monatszinsen unrealistisch finde.
Ich hatte natürlich ebenfalls den Jahreszins von 2% vorausgesetzt bei meiner Berechnung.
Interessant wird es allerdings, wenn wir in die Berechnung ebenfalls noch die Inflation berücksichtigen. ;-)
Ja, und die Kontoführungsgebühren und dergleichen. Obwohl vielleicht verzichten sie bei Millionären auf die Kontoführungsgebühr ;-))
Ja, an die Inflation habe ich tatsächlich auch gedacht. Aber da würde wohl eine Formel herauskommen, die ich nicht mehr verstehen würde...
Besten Dank für Deine Mühe. Du hast offensichtlich Ahnung. Jetzt weiß ich, wieviel Geld ich zum Leben haben werde, wenn ich morgen eine Million Euro im Lotto gewinne und ich in exakt 50 Jahren streben werde.
Naja du rechnest dir die Zinsen pro Jahr aus (1.000.000*2%), die multiplizierst du mal die Jahre, addierst sie zu der Million Euro. Diese dividierst du durch 50 Jahre.
Dann hast du Betrag pro Jahr (durch 12 für Monat)
Nein, denn das Kapital wird dabei ja ebenfalls jeden Monat verringert.
Wenn er zum Beispiel 10000€ pro Monat abheben würde, dann hätte er nach einem Monat zwar Zinsen für die 1.000.000€ bekommen (1666,67€), aber danach hätte er ja nur noch 991.666,67€ für die er dann nur noch 1652,78€ Zinsen bekommt.
Das klappt nicht, da ja jedes jahr bereits ein Teil der Millionen verbraucht und dann nich mehr verzinst wird
Okay, dann schreibt doch ruhig eine eigene Antwort ihr beiden :) Ich dachte so ist das richtig.
Ich hätte nicht gefragt, wenn die Antwort so einfach wäre ;)
Hm, ja meistens ist es schwerer als mann es sich vorstellt.
Du könntest es umformulieren. Wie viel Geld musst du bei 2% Zinsen sparen um in 50 Jahren 1 Mio haben?
Das ist eine komplett andere Rechnung.
Seine Aufgabe lautet zb so :
10 € auf dem Konto
2% zins drauf
10,2€
Davon 3 ausgeben
7,2€
Darauf 2 %
7,344€
Davon 3 Ausgeben
4,344€
Darauf 2%.......
Mit 3 € Ausgaben geht das hier nicht auf und die Anzahl der Jahre (zb 6 Jahre ) ist nicht mit einbezogen......
Damit hättest du es auf Jahresbasis gerechnet, aber nicht auf Monatsbasis.
Monatlich sind es, abhängig davon ob man direkt Geld abhebt oder erst nach einem Monat, entweder 2633,51€ oder 2640,47€.
Wobei du sogar weniger Zinsen erwirtschaftest - bei dir kommen 2599 irgendwas raus. Ich hatte es in OpenOffice simuliert.