Frage von NoSmoKing, 19

Wer kann mir beim Verständnis von Mathe-Textaufgaben helfen?

Hey, mache grad abi (bin im ersten Jahr) und brauche einen soliden Durchschnitt damit ich mit mir selber zufrieden bin. Das klappt auch soweit ganz gut, aber wie bei vielen Leuten ist Mathe ein Problem bei mir. So wie ich mir sicher war, dass ich alles verstanden habe und die allgemeinen Rechenwege verstanden habe, kam dann die Arbeit und ich hab nichts mehr verstanden. Die Formulierungen sind für mich nicht verständlich und deswegen wollte ich fragen ob mir jemand helfen kann bei jeder Aufgabe rauszuschreiben, welches Verfahren ich anwenden muss um die Lösung zu finden. Meine Note war eine 6 und ich hab mehr als ein Wochenende gelernt dafür .. Naja hier die Aufgaben: 1) Ein Patient setzt zur Bewegungskontrolle während des Trainings ein Pulsmessgerät ein, dass die momentane Herzfrequenz des Sportlers aufzeichnet. Die aus den ermittelten Werten erstellte Herzfrequenzkurve eines 30-minütigen Trainingsabschnitts kann annäherend durch den Graphen der Funktion f mit: f(t)= 0,03t³-1,5t²-21t+80 dargestellt werden. Dabei wird die Zeit in minuten (min) seit dem Start t(=0) und die Herzfrequenz f(t) in Schlägen pro Minute (S/min) angegeben.

a. Der Arzt hatte dem Patienten vorgegeben, nach einer Einstiegsphase von 5 Minuten seine Herzfrequenz f(t) während des restlichen Trainingsabschnitts zwischen 130/Smin und 180 S/Min zu halten. Untersuchen sie ob die Vorgaben eingehalten wurden.

b. Während des Trainingsabschnitts sollen die Phasen mit ansteigendem Puls insgesamt nciht länger als 15 Minuten sein.

c. Ermitteln sie die Zeitpunkte des Trainingsabschnitts, zu dem die Herzfrequenz des Patienten am stärksten abnahm bzw. zunahm.

d. Aufgrund seiner Erkrankung darf der Patient in 30 Minuten nicht mehr als 5000 herzschläge seinem Herzen zumuten. Untersuchen sie rechnerisch, ob auch diese VOrgabe eingehalten wurde.

Ich bitte euch nicht meien Hausaufgaben zu machen, ich möchte das nur verstehen. Meine Note hab ich schon bekommen

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von eddiefox, 13

b) die Phasen mit ansteigendem Puls solle insgesamt nciht länger als 15 Minuten sein.

Was bedeutet "ansteigender Puls" für die Funktion f ?
Antwort: die Funktionswerte steigen, d.h. f ist streng monoton steigend.

Es gibt ein Theorem das besagt, dass f genau dann streng monoton steigend ist, wenn die erste Ableitung von f grösser als Null ist.

Man muss also die Ableitung f' von f bilden und "schauen", wo f'(x) grösser Null ist.

Die Ableitung eines Polynoms vom Grad 3 ist ein Polynom vom Grad 2.

In unserem Fall: f'(t) = 0,03 * 3 * t² - 2 * 1,5 t + 21 = 0,09 t²- 3t + 21

Der Graph eines Polynoms vom Grad 2 ist eine Parabel, nach unten oder nach oben geöffnet, je nachdem, ob der Koeffizient vor t² kleiner oder grösser Null ist.

An dem Bild kannst du den Graphen der Ableitung sehen: eine sehr gestauchte nach oben geöffnete Parabel, die bei t = 10 und t ~ 23 die t-Achse schneidet, also Null ist.

Zwischen 10 und ungefähr 23 liegt der Graph der Ableitung unterhalb der t-Achse (oder x-Achse im Bild). D.h. Von 0 bis 10 ist die Ableitung von f positiv, und dann wieder von 23 bis 30.

Im ersten Fall sind es 10 Minuten mit Pulsanstieg (positiver Ableitung), im zweiten 7 Minuten. Also dauert die Phase des Pulsanstieges weniger als 15 Minuten.

(Die genaue zweite Nullstelle der Ableitung liegt bei 23 1/3 = 70/3)

Kommentar von NoSmoKing ,

Sehr hilfreich, kannst du auch die weiteren Aufgaben erklären? Wenn du willst natürlich

Kommentar von eddiefox ,

c) Wenn die erste Ableitung positiv (negativ) ist, dann nimmt die HF zu (ab).

Bei welchem Zeitpunkt t ist die grösste HF-Zunahme (-Abnahme)?
Anwort: wenn die erste Ableitung ihr Maximum (Minimum) auf dem Intervall erreicht.

Jetzt suchen wir also das Maximum und Minimum der ersten Ableitung auf [0;30].

Die erste Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel.
Ihr Minimum liegt also in der Mitte zwischen ihren zwei Nullstellen, also bei t = (10 + 70/3) / 2 = (100/3) / 2 = 100/6 = 50 / 3 ~ 16,666...

Bei t = 50/3 (16 min 40 sek) ist die. stärkste HF-Abnahme.

Das Maximum der ersten Ableitung kann also nur am linken oder rechten Rand des Intervalls [0;30] liegen.

Wir müssel also f'(0) mit f'(30) vergleichen:

f'(0) = 21;

f'(30) = 0,09 * 30² - 3*30 + 21 = 12

f'(0) ist also grösser als f'(30), also haben wir den grössten HF-Anstieg am Anfang des Experiments, bei t = 0

Kommentar von eddiefox ,

d) Wieviele Herzschläge hat der Patient bei dem Expériment gehabt?

Eine Möglichkeit die Frage zu beantworten ist folgende:

Während des Experimentes verändert sich die HF andauernd.

Die Anzahl der Herzschlage könnten wir berechnen, wenn wir den Mittelwert der Herzfrequenz kennen würden.

Die Anzahl der Pulsschläge wäre dann : (Anzahl der Minuten) * Mittelwert der Funktion, auf dem Intervall [0;30].

Nun gilt: der Mittelwert einer differenzierbaren Funktion auf dem Intervall [a;b] ist gleich 1/(b-a) * Integral ( f(t) dt ), das Integral von a bis b.

In unserem Fall: a = 0, b = 30,

f(t) = 0,03t³-1,5t²+21t+80

1/(b-a) = 1/(30-0) = 1/30.

30 (Minuten) mal 1/30 = 1, daraus folgt dass das Integral von f(t) (von 0 bis 30) die Anzahl der Herzschläge in den 30 Minuten ergibt.

Du musst also die Stammfunktion F von f berechnen.

Dann ist das Integral von f(t)dt in den Grenzen 0 bis 30 = F(30) - F(0).

F(30) - F(0) sind die Anzahl der Herzschläge in den 30 Minuten.

Kommentar von eddiefox ,

Die Stammfunktion F von f ist

F(t) = 0,03 * (t^4/4) - 1,5 * (t^3/3) + 21 (t²/2) + 80t

Man erhält F(30) = 4425. (Es gilt F(0) = 0) !

Mal überschlagen ob das stimmen kann:

Nehmen wir an, die mittlere Pulsfrequenz sei 150 S/min.

Dann hätten wir 30 * 150 = 4500 S/min. Kommt also hin.

Antwort: Vorgabe wurde eingehalten, die Anzahl der Pulschläge sind weniger als 5000.

Antwort
von eddiefox, 19

Hallo, der Graph der Funktion ergibt nur sinnvolle Werte, wenn die Funktion so lautet :

f(t) = 0.03t³−1.5t²+21t+80

also den Term -21t durch +21t ersetzen.

Ansonsten ist der Graph der Funktion zwischen Minute 3 und 30 unterhalb der x-Achse. Also mit -21t hast du ab Minute 3 nur negative Werte.
Mit +21t beginnt die Kurve mit 80 S/Min und der Puls geht nicht über 170S/Min, was dem Kontext nach einen Sinn ergibt.

Bist Du Dir sicher, dass da -21t steht?

Kommentar von NoSmoKing ,

Hast recht. Steht +21 mein Fehler

Antwort
von eddiefox, 12

Ja genau, du rechnest die Extremwerte aus und musst dann noch schauen, ob am Rand des Intervalls die Funktionswerte auch nicht unter 130 und nicht über 180 gehen. Also Extremwerte ausrechnen und f(5) und f(30) ausrechnen.

Wenn die Extremwerte und f(5) und f(30) zwischen 130 und 180 liegen, dann kannst du antworten: ja die Vorgaben wurden eingehalten.

(Am Bild des Graphen sieht man schonmal dass die Vorgaben eingehalten wurden.)

In der Tat ist die Umsetzung einer Textaufgabe in die mathematische Sprache ein Schritt der nicht leicht ist. In manchen Textaufgaben fehlt sogar die Frage, auf die man auch noch selber kommen muss. Mir sind früher Textaufgaben auch nicht leicht gefallen.

Kommentar von NoSmoKing ,

Wie ging nochmal die Berechnung des Maximum und des Minimum? Also ich weiß ja eigentlich wenn ich erstmal ableite, und das dann 0 setze um die Nullstellen auszurechnen. Dann auf Vorzeichenwechsel prüfen. Wenn ich aber jetzt ableite, dann krieg ich ja nullstellen raus und die sind dann nur für eine Extremstelle (Hoch oder Tiefpunkt)

Also wie geh ich vor wenn ich den 2. Extrempunkt herausfidnen will?

Kommentar von eddiefox ,

Die Gleichung ax² + bx + c = 0

hat entweder keine Lösung (Nullstelle), eine (doppelte) oder zwei Nullstellen, je nachdem ob b² - 4ac kleiner, gleich oder grösser Null ist.

Die Lösungen sind x1,2 = -(b/2a) +- (wurzel (b²-4a)) / 2a

Anwenden auf

0,09 t²- 3t + 21 = 0

Das sind keine "schönen" Zahlen, aber es gibt zwei Lösungen :

t1 = 10 und t2 = 70/3

Die zweite Ableitung von f ist f''(t) = 0,18t - 3

f"(10) = 0,18 * 10 - 3 < 0, also ist dort ein relatives Maximum.

f"(70/3) = 0,18 * 70/3 - 3 > 0 , also ist dort ein relatives Minimum.

Antwort
von eddiefox, 18

Frage a) mathematisch ist die Frage, ob auf dem Intervall [5; 30] min(f) >= 130 und max(f) <= 180 gilt.

Frage b) mathematisch ist die Frage nach der Monotonie von f.
Es gilt "ansteigender Puls" <=> f'(t) > 0 ; ist die Länge des Lösungsintervalls der Ungleichung f'(t) > 0 kleiner oder gleich 15 ?

Frage c) ist die Suche nach min (f') und max (f') über dem Intervall [0; 30]

Frage d) : Gilt Integral { f(t) dt von 0 bis 30 } <= 5000 ?

Kommentar von NoSmoKing ,

Ich versteh garnix

Antwort
von eddiefox, 15

Ich versuche mal ein Bild einzufügen, Text kommt danach!

Kommentar von eddiefox ,

Ok, ich versuche es mal ausführlicher.

Die funktion f ist eine ungefähre Beschreibung der Entwicklung der Herzfrequenz wärend des Experimentes, das von Minute 0 bis Minute 30 geht.

In a) wird gefragt, ob von Minute 5 bis Minute 30 die Herzfrequenz (HF - ich kürz' mal ab sonst schreib ich mir die Finger wund) nicht tiefer als 130 S/min geht. Der kleinste Wert der Funktion f zwischen Minute 5 und Minute 30 sollte also nicht unter 130 gehen, bzw man will wissen ob die HF (= die Funktion f) das einhält.

Den tiefsten Wert einer Funktion auf einem Intervall I nennt man Minimum der funktion (abgekürzt min (f) auf I).

Das Intervall I in unserem Fall geht von Minute 5 bis Minute 30, ist also [5; 30]. Wir suchen also das Minimum von f auf dem Intervall [5;30] und hoffen, dass es nicht unter 130 ist.

Du hast jetzt zwei Möglichkeiten: - entweder Du machst Dir eine Wertetabelle und zeichnest den Graphen von f, oder Du machst eine Kurvendiskussion.

Hat eine Funktion f bei x=a ein relatives Minimum oder Maximum, dann ist die erste Ableitung von f bei x=a Null, also f'(a) = 0.

Konntest Du bis hierhin folgen?

Kommentar von NoSmoKing ,

Ja konnte ich Die randwerte sind ja 5 und 30 also ermittelt man das minimum und maximum indem man ganz nroaml die Extremwerte ausrechnet ? Ich hab die formeln immer drauf, nur bei den anwendungsaufgaben verstehe ich so gut wie garnichts

Kommentar von eddiefox ,

Meine Antwort steht an der falschen Stelle, etwas weiter oben. Sorry.

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