Mathe Matrix - Fixvektor LGS Aufgabe

Schreibe jetzt bald Klausur und bin am Verzweifeln: Ich habe folgende Matrix und will den Fixvektor bzw. stabile Verteilung ausrechnen.

0,5a+0,2b+0,8c=a 0,2a+0,5b+0,1c=b 0,3a+0,3b+0,1c=c

Lösung: gibt unendlich viele; a=2t, b=t, c=t

Kann mir jemand einen Rechenweg zaubern? Am liebsten wär mit Erklärung ich verstehs einfach nicht

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Kungfukuh

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

12.10.2011, 19:45

Hallo!

Du hast soweit alles richtig berechnet, jetzt fehlt nur noch der letzte Schritt: da du dich offensichtllich bei Markov-Ketten befindest und nach einer invarianten (W-keits)verteilung suchst, muss die Summe aller Dichtewerte 1 ergeben. Dabei sollen sie alle nicht negativ sein. Deine Dichtewerte stehen im Verhältnis 2:1:1 zueinander. Nun schreibe: 2x+x+x=1 hin ==> x = 1/4. Also sind deine Gewichte: 2/4, 1/4, 1/4, und die gesuchte Verteilung ist (2/4,1/4,1/4)

StupediaWir

Fragesteller

12.10.2011, 19:54

Hallo, danke erstmal für die Antwort. Ich hab das mit dem LGS jetzt auch hinbekommen und es funktioniert glaub ich. Mein Problem ist, wie komm ich auf den "Dichtewert 2:1:1"?

Laut meinem Mathebuch, soll ich eine Variable = t setzen, aber wie zum Teufel komm ich denn darauf, dass a=2t; b=t; c=t ist?

StupediaWir

Fragesteller

12.10.2011, 20:02

@StupediaWir

OK, war ne dumme Frage. Muss ich natürlich einfach einsetzen, dachte wäre ein Spezialfall. Naja hab jetzt alles hinbekommen. Hoffe das ist so richtig ^ ^

Danke für die Hilfe!!

Kungfukuh

12.10.2011, 20:31

@StupediaWir

Ich dachte mir, die Lösung a=2t, b=t, c=t hast du selber hinbekommen. Also diese erhält man wie üblich indem man die Matrix (mittels Gausschen Eliminationsverfahren) löst. Die Lösung a=2t, b=t, c=t bedeutet nur, dass die Gewichte der Verteilung im Verhältnis 2:1:1 zueinander stehen. Die restliche Lösung habe ich oben angegeben.

kitoma

12.10.2011, 19:19

Vielleicht hilft dir diese Seite:

http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/Archiv/mstproz/Muster98.html

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0,2 0 0,2 0
0,1 0,9 0 0,1
0,6 0,1 0,8 0,6
0,1 0 0 0,3

Nun soll ich einen Anfangsbestand von Kunden bestimmen, der nach einem Monat unverändert ist und die Langzeitentwicklung dieses Bestandes beschreiben.

Wenn ein Bestand nach einem Wechselverhalten gleich bleibt, brauche ich den Fixvektor. Also gilt: Ax=x

Daraus folgt:
0,2a + 0,2c = a
0,1a + 0,9b + 0,1d =b
0,6a + 0,1b + 0,8c + 0,6d =c
0,1a + 0,3d =d

Jetzt jeweils a,b,c,d abziehen:
-0,8a + 0,2c =0
0,1a - 0,1b + 0,1d =0
0,6a + 0,1b - 0,2c +0,6d =0
0,1a - 0,7d =0
Jetzt habe ich ganz oft das LGS gemacht und komme doch immer auf ganz komische Zahlen und weiß auch nicht wirklich, wie ich da jetzt weiter machen soll.

Zudem war in der Aufgabe davor gegeben, dass in einer Stadt der Anfangsbestand
2000
8000
30000
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Wo liegt der Fehler?

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

// Funktion zur Berechnung des Determinanten einer Matrix
double determinant(vector<vector<double>>& matrix, int n) {
  double det = 0;

  if (n == 1) {
    return matrix[0][0];
  }

  if (n == 2) {
    return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
  }

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    vector<vector<double>> subMatrix(n - 1, vector<double>(n - 1));

    for (int j = 1; j < n; j++) {
      for (int k = 0; k < n; k++) {
        if (k < i) {
          subMatrix[j - 1][k] = matrix[j][k];
        }
        else if (k > i) {
          subMatrix[j - 1][k - 1] = matrix[j][k];
        }
      }
    }

    det += pow(-1, i) * matrix[0][i] * determinant(subMatrix, n - 1);
  }

  return det;
}
 
// Funktion zur Durchführung der Gauss-Jordan-Elimination
void gaussJordan(vector<vector<double>>& matrix, vector<double>& constants) {
  int n = matrix.size();

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    int maxIndex = i;

    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
      if (abs(matrix[j][i]) > abs(matrix[maxIndex][i])) {
        maxIndex = j;
      }
    }

    if (maxIndex != i) {
      swap(matrix[maxIndex], matrix[i]);
      swap(constants[i], constants[maxIndex]); // Korrektur hier
    }

    double factor = matrix[i][i];

    for (int j = i; j < n; j++) {
      matrix[i][j] /= factor;
    }

    constants[i] /= factor;

    for (int j = 0; j < n; j++) {
      if (j != i) {
        double factor = matrix[j][i];

        for (int k = i; k < n; k++) {
          matrix[j][k] -= factor * matrix[i][k];
        }

        constants[j] -= factor * constants[i];
      }
    }
  }
}

// Funktion zur Überprüfung der Invertierbarkeit und zur Lösung des LGS
vector<double> solveLinearSystem(vector<vector<double>>& matrix, vector<double>& constants) {
  int n = matrix.size();
  double det = determinant(matrix, n);

  // Überprüfung auf unendlich viele Lösungen
  bool allZero = true;

  for (double constant : constants) {
    if (constant != 0) {
      allZero = false;
      break;
    }
  }

  if (det == 0) {
    if (allZero) {
      cout << "Das LGS hat unendlich viele Lösungen." << endl;
      return {}; // Leerer Vektor, da unendlich viele Lösungen existieren
    }
    else {
      cout << "Das LGS hat keine Lösung." << endl;
      return {}; // Leerer Vektor, da keine Lösung existiert
    }
  }

  // Anwendung der Gauss-Jordan-Elimination
  gaussJordan(matrix, constants);

  vector<double> solution(n);

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    solution[i] = constants[i];
  }

  return solution;
}

int main() {
  vector<vector<double>> matrix = {
    { 1, -3,  5 },
    { 2, -5,  12 },
    { 3, -11,  11 }
  };
  vector<double> constants = { 2, 1, 12 };

  vector<double> solution = solveLinearSystem(matrix, constants);

  if (!solution.empty()) {
    cout << "Die Lösung des LGS ist: ";

    for (int i = 0; i < solution.size(); i++) {
      cout << "x" << i + 1 << " = " << solution[i] << ", ";
    }

    cout << endl;
  }
  else {
    cout << "Das LGS hat keine Lösung." << endl;
  }

  return 0;
}

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(I) 3x + 2y + z = 4

(II) 3x + 2y + 0z = 5

(III) 3x + 2y + z = 4

Es stimmen (I) und (III) überein, darum gilt 0=0, dass GLS ist unterbestimmt und hat unendlich viele Lösungen.

Wenn ich das ganze jetzt geometrisch mit einer Matrixtransformation darstelle ergibt sich:

3 2 1

3 2 0 * (x|y|z) = (4|5|4)

3 2 1

Also suche ich den Vektor, der nach der Raumtransformation der Matrix gleich (4|5|4) ergibt.

Dafür brauche ich die Inverse Transformation der Matrix --> M^-1.

Da jedoch die Determinante DET(M) = 0 ergibt, da der Raum von 3d auf einen 2 oder 1 D Raum verzerrt wurde kann man diese Matrix nicht ermitteln.

Das lässt aus geometrischer Sicht ja jetzt die Frage offen, ob das GLS garkeine Lösung hat oder halt unendlich viele oder? Und wenn ja, lässt sich irgendwie bestimmen was von beiden der Fall ist?

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