Mathe Ha?

2 aufgaben : Untersuche mithilfe einer Krümmungstabelle die Wendepunkte.

Kann einer bitte 1 oder 2 aufgaben berechnen mit anleitung und sie mir dann schicken?
Ich kann mir das nicht beibringen. Bin sehr dankbar . LG

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Hier wurde schon ein Beispiel vorgerechnet.

Es ist eine Funktion

$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

vorgegeben. Gesucht sind Intervalle, wo diese links- bzw. rechtsgekrümmt ist. Das Krümmungsverhalten berechnet man wie im Bild angegeben. Die erste Ableitung beschreibt die Steigung. Bei einer positiven zweiten Ableitung wird die Steigung immer größer (positiver) und der Graph ist dort somit linksgekrümmt. Bei einer negativen zweiten Ableitung ist der Graph umgekehrt rechtsgekrümmt. Es sind also die Nullstellen der zweiten Ableitung gesucht, da diese dort das Vorzeichen wechseln könnte.

$f''(x) = 12ax^2 +6bx +2c = 0$

Diese Gleichung kann man z.B. mit der Mitternachtsformel lösen. $x_{1,2} = \frac{-6b \pm \sqrt{36b^2-96ac}}{24a} = \frac{-3b \pm \sqrt{9b^2-24ac}}{12a}$

Die zweite Ableitung wird mit Linearfaktoren dargestellt.

$f''(x) = 12a(x-x_1)(x-x_2)$

Wenn man die Nullstellen der Größe nach sortiert, hat man für x die drei Bereiche

$x < x_1 < x_2,\quad x_1 < x < x_2,\quad x_1 < x_2 < x$ Aus der Linearfaktordarstellung kann man leicht ablesen, wann die zweite Ableitung positiv und wann negativ ist. Wenn die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist, dann ist das Produkt negativ. Wenn die Anzahl gerade ist, dann ist das Produkt positiv. Bestimme also für alle drei Bereiche die Anzahl der negativen Faktoren inklusive Vorfaktor und damit das Vorzeichen der zweiten Ableitung. Es kann auch eine doppelte Nullstelle oder gar keine geben. Dann hat man keinen Vorzeichenwechsel.

Im vorgerechneten Beispiel ist die Linearfaktordarstellung der zweiten Ableitung

$f''(x) = 1(x-(-1))(x-1)$ Der Vorfaktor ist 1 und damit positiv. Bei x < -1 sind die beiden Linearfaktoren negativ und die zweite Ableitung insgesamt positiv. Bei -1 < x < 1 ist nur noch der letzte Faktor negativ und die zweite Ableitung ist somit insgesamt negativ. Bei x > 1 sind alle Faktoren positiv und das Produkt somit auch.