Mathe: Exponentielle Prozesse.... Könnte mir da jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Ein Autofahrer fährt in den Graben. Er entfernt sich von der Unfallstelle. Fünf Stunden später wird eine Blutprobe genommen. Der Alkoholgehalt beträgt 0,7 Promille. Eine weitere Stunde später ist er auf 0,6 Promille gefallen. Wie viel Promille hatte der Mann zur Unfallzeit, wenn man exponentielle Abnahme unterstellt? Wie viel Promille wären es bei linearer Abnahme?
Ich glaube der Ansatz ist bei ner Exponentialfunktion: c "mal" a "hoch" x
Dabei ist "a" der Zuhname bzw. in dem Fall der Abnahmefaktor. Aber wie krieg ich den nochmal raus??
Und wir suchen doch c (den Grundwert) oder?
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte...
Liebe Grüße.
2 Antworten
Dein Ansatz ist korrekt:
f(x)=c*a^x (das ^ bezeichnet das "hoch")
Du hast zwei Unbekannte (a und c), deshalb benötigst du zwei Gleichungen, um das Gleichungssytem zu lösen. Glücklicherweise sind ja zwei Punkte gegeben, also das als erstes mathematisch formulieren:
f(5)=0,7
f(6)=0,6
Das ist immer der Anfang: Die Angaben, mathematisch hinshcreiben (können natülich auch in Form von Ableitungen und so dastehen, falls ihr das schon hattet). Dann einfach f(5) und f(6) durch die entsprechenden Funktiosausdrücke ersetzen. Zur besseren Lesbarkeit, vertausche ich hier auch gleich linke und rechte Seite:
0,7=c*a^5
0,6=c*a^6
Jetzt einfach dieses Gleichungssystem lösen. Da gibts natürlich mehrere Möglichkeiten: Bspw. zuerst die erste Gleichung nach einer Variablen auflösen, und dann in die andere einsetzen. Oder die beiden Gleichungen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividiern (Wobei addieren, subtrahieren und multiplizieren dir hier icht so viel bringt). Ich möchte hier einfach die beidem Gleichungen dividieren, da sich dann das c rauskürzt:
0,7/0,6=(c* a^5)/(c* a^6)=a^5/a^6=1/a
Hier kann man jetzt einfach auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen:
a=0,6/0,7=0,8571
Um c zu ermitteln, setzen wir einfah a in eine unserer Gleichungen ein (ist egal welche, es muss beides mal das Gleiche rauskommen:
0,7=c*0,8571^5 -->c=0,7/0,8571^5=1,51
Jetzt sind a und cbrechnet, die Funktion lautet also:
f(x)=1,51*0,8571^x
Zum Zeitpunkt des Unfalls betrug der Alkoholspiegel also:
f(0)=1,51*0,8571^0=1,51
Also 1,51 Promille.
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Für linieare Abnahme macht man das Prinzipiell genauso. Deine Gleichung heißt hier natürlich
g(x)=m*x+c
Wieder beide Gleichungen formulieren:
g(5)=0,7=m*5+c
g(6)=0,6=m*6+c
Wieder beide Gleichungen auflösen (Hier z.B. durch Subtraktion der beiden Gleichungen, oder eben im "Standartweg zuerst eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und dann das in die andere Gleichung einsetzen). Man erhält letztendlich:
g(x)=-0,1*x + 1,2
Zu Berginn lag bei diesem Modell der Alkoholpegel also bei 1,2 Promille.
gibt es irgendwelche einschränkungen wann man gleichung nicht miteinander dividieren kann?
die Lösung für die lineare Abnahme ist auf jedenfall 1,2 Promille... mit der exponentiellen Abnahme kann ich dir auch nicht helfen
Ach trotzdem Danke :) Aber könntest du mir noch kurz sagen warum? ^^