Mathe Hausaufgabe Hilfe Gleichungen?
Ich bräuchte mal Hilfe bei meinen Hausaufgaben. Wäre jemand so
lieb und könnte mir die Aufgaben rechnen und evtl. mit kleiner Erklärung das ich die Lösung nachvollziehen kann ?
Dankeschön schonmal im Voraus
1 Antwort
Aufgabe 3
Nennen wir die Anzahl der großen Kartons g und die Anzahl der kleinen Kartons k.
Wir wissen aus der Aufgabenstellung, dass die Eier in insgesamt 24 Kartons verpackt werden. Von diesen 24 sind g große Kartons und k kleine Kartons. Also ist
(1. Gleichung) g + k = 24.
In einen großen Karton passen 10 Eier, in einen kleinen Karton passen 6 Eier. In die g großen Kartons passen also 10·g Eier und in die k kleinen Kartons passen 6·k Eier. Zusammen sind es 188 Eier, also ist
(2. Gleichung) 10·g + 6·k = 188.
Subtrahiert man k auf beiden Seiten der 1. Gleichung, so erhält man
(3. Gleichung) g = 24 – k.
Wegen der 3. Gleichung kann man in der 2. Gleichung g durch 24 – k ersetzen. Das ergibt
(4. Gleichung) 10·(24 – k) + 6·k = 188.
Die linke Seite der 4. Gleichung kann man so zusammenfassen:
10·(24 – k) + 6·k = 10·24 – 10·k + 6·k
= 240 – 4·k.
Also kann man die linke Seite der 4. Gleichung ersetzen durch 240 – 4·k und erhält
(5. Gleichung) 240 – 4·k = 188.
Addieren von 4·k auf beiden Seiten der 5. Gleichung ergibt
(6. Gleichung) 240 = 4·k + 188.
Subtrahieren von 188 auf beiden Seiten der 6. Gleichung ergibt
(7. Gleichung) 52 = 4·k.
Dividieren durch 4 auf beiden Seiten der 7. Gleichung ergibt
(8. Gleichung) 13 = k
und Vertauschen der Seiten der (8. Gleichung) ergibt
(9. Gleichung) k = 13
Es werden also 13 kleine Kartons verwendet. Nun können wir wegen der 9. Gleichung in der 1. Gleichung k durch 13 ersetzen und erhalten
(10. Gleichung) g + 13 = 24
und das ergibt nach Subtraktion von 13 auf beiden Seiten
(11. Gleichung) g = 11.
Es werden also 11 große Kartons verwendet.
Nun das ganze nochmal in kürzeren, übersichtlicherer Form (LS(3) bzw. RS(3) steht für linke Seite bzw. rechte Seite der Gleichung 3):
(1) g + k = 24 wg. Voraussetzung
(2) 10·g + 6·k = 188 wg. Voraussetzung
(3) g = 24 – k nach –k auf LS(1) & RS(1)
(4) 10·(24 – k) + 6·k = 188 nach RS(3) in LS(2)
(5) 240 – 4·k = 188 nach Umformen von LS(4)
(6) 240 = 188 + 4·k nach +4k auf LS(5) & RS(5)
(7) 52 = 4·k nach –188 auf LS(6) & RS(6)
(8) 13 = k nach :4 auf LS(7) & RS(7)
(9) k = 13 nach Seitenvertausch von (8)
(10) g = 11 nach RS(9) in RS(3)
Antwort: Es werden 11 große und 13 kleine Kartons verwendet.
Probe:
LS(1) = g + k = 11 + 13 = 24 = RS(1)
LS(2) = 10·g + 6·k = 10·11 + 6·13 = 188
Aufgabe 4
Ansatz:
- Sei d die Anzahl der Doppelzimmer und e die Anzahl der Einzelzimmer.
- Die Anzahl der Zimmer insgesamt (116) ist die Anzahl der Doppelzimmer (d ) plus die Anzahl der Einzelzimmer (e), also ist d + e = 116.
- Die Anzahl der Betten insgesamt (192) ist die Gesamtzahl aller Betten, die in einem Doppelzimmer stehen plus die Gesamtzahl aller Betten, die in einem Einzelzimmer stehen.
- Die Gesamtzahl aller Betten, die in einem Doppelzimmer stehen, ist 2·d, weil in jedem der d Doppelzimmer 2 Betten stehen.
- Die Gesamtzahl aller Betten, die in einem Einzelzimmer stehen, ist 1·e, weil in jedem der e Einzelzimmer nur 1 Bett steht.
- Also folgt aus den Punkten 3, 4 und 5, dass 192 = 2·d + e ist.
Wir haben also die beiden folgenden Gleichungen zu lösen:
(1) d + e = 116
(2) 2·d + e = 192
In diesem Fall bietet es sich an, die beiden Gleichungen voneinander zu subtrahieren:
(3) d = 76 nach (2)–(1)
(4) e = 116 – d nach –d auf LS(1) & RS(1)
(5) e = 40 nach RS(3) in RS(4)
Antwort: Das Hotel hat 76 Doppelzimmer und 40 Einzelzimmer.
Probe:
LS(1) = d + e = 76 + 40 = 116 = RS(1)
LS(2) = 2·d + e = 2·76 + 40 = 192 = RS(2)
Aufgabe 5
Ansatz (s. Aufgabe 4):
- Sei x die Anzahl der Doppelzimmer und y die Anzahl der Einzelzimmer.
- Die Anzahl der Zimmer insgesamt (60) ist die Anzahl der Doppelzimmer (x) plus die Anzahl der Einzelzimmer (y), also ist x + y = 60.
- Die Anzahl der Betten insgesamt (98) ist die Gesamtzahl aller Betten in Doppelzimmern plus die Gesamtzahl aller Betten in Einzelzimmern.
- Die Gesamtzahl aller Betten in Doppelzimmern ist 2·x.
- Die Gesamtzahl aller Betten in Einzelzimmern ist y.
- Also ist 98= 2·x + y ist.
Gleichungssystem:
(1) x + y = 60
(2) 2·x + y = 98
Lösung:
(3) x = 38 aus (2) minus (1)
(4) 38 + y = 60 nach RS(3) in LS(1)
(5) y = 22 nach –38 auf LS(4) & RS(4)
Das Hotel hat 38 Doppelzimmer und 22 Einzelzimmer.
Probe:
LS(1) = 38 + 22 = 60 = RS(1)
LS(2) = 2·38 + 22 = 98 = RS(2)
Um den Zusammenhang zwischen Doppelzimmerzahl x und Einzelzimmerzahl y einfacher grafisch darstellen zu können, lösen wir (1) und (2) nach y auf:
(6) y = 60 – x nach –x auf LS(1) & RS(1)
(7) y = 98 – 2·x nach –2·x auf LS(2) & RS(2)
Durch (6) ist eine Funktion f gegeben: y = f(x) = 60 – x
Durch (7) ist eine Funktion g gegeben: y = g(x) = 98 – 2·x
f und g lassen sich grafisch so darstellen:
f und g sind Geraden, ihr Schnittpunkt (38|22) ist die Lösung des Gleichungssystems (6) & (7) bzw. des Gleichungssystems (1) & (2).
