Mathe - Begrenztes Wachstum. Kann mir jemand helfen?
In einer Stadt gibt es 120 000 Haushalte. Man vermutet, dass jeder dritte Haushalt auf eine neue digitale Fernsehaufnahmetechnik umsteigen möchte. Eine Firma geht davon aus, dass die Zunahme des Verkaufs bei Markteinführung am größten war und modelliert die Verkaufszahlen mit begrenztem Wachstum. Sie macht dabei die Annahme, dass die Wachstumskonstante k = 0.12 beträgt (12% pro Monat). x: Zeit in Monaten.
Nun die Fragen:
a) Untersuchen Sie, ob die Firma im ersten Jahr 30000 Geräte verkaufen wird.
b) Berechnen Sie, wann 50% der Haushalte ein solches Gerät haben werden.
c) Untersuchen Sie, wann alle Haushalte ein Gerät haben werden.
d) Begründe, dass A(x) = -40000 * 0,88^x + 40000 ein passendes Modell ist.
PS: Ich bin wirklich sehr schlecht in Mathe und bräuchte wirklich eine ausführliche Erklärung. Ich frage auch nicht, weil ich faul bin, aber ich muss diese Aufgabe in ein paar Tagen vorstellen und ich habe mir bereits mehrere Stunden Gedanken gemacht und stehe auf dem Schlauch.
Allerdings habe ich einen Ansatz herausgefunden:
-> Die Funktion für begrenztes Wachstum lautet f(x): (A-G) * e^-kx + G
A ist der Anfangsbestand, also in diesem Fall ja 0
G ist der Grenzwert, also ja 40000 (jeder dritte Haushalt)
k ist der Wachstumsfaktor, also 0.12 bzw 12%
Danke im Voraus! Liebe Grüße, Christian
2 Antworten
Die Frage ist: Wofür steht das x? Ich denke mal, dass x die Monate darstellen soll. Für Tage liefe der Verkauf extremst schnell und für Jahre schleppend langsam...
Sollte es so sein, dass x für Monate steht, dann rechnest Du bei a) einfach f(12). Dann weißt Du, wieviele Geräte nach 12 Monaten verkauft wurden und kannst das mit den 30.000 vergleichen.
b) hier musst Du f(x)=20.000 (=50% von 40.000) setzen und nach x umformen:
-40.000 * e^(-0,12x) + 40.000 = 20.000 |-40.000, dann |:(-40.000)
e^(-0,12x) = 0,5 |ln anwenden
-0,12x = ln(0,5) |:(-0,12)
x=ln(0,5)/(-0,12)
x=5,78, d. h. nach einem knappen halben Jahr sind 20.000 Geräte verkauft
c) die Frage finde ich etwas merkwürdig; mit "alle Haushalte" sollen wohl die 40.000 "Umsteigewilligen" gemeint sein, also die Schranke der Exponentialfunktion. Und diese Schranken werden nie erreicht...
Rechnerisch müsstest Du f(x)=40.000 ausrechnen, und kämst nach den gleichen Schritten wie bei b) auf e(-0,12x)=0. Hier jetzt den ln anwenden und Du hast rechts ln(0) stehen, und das ist nicht definiert. Anders: Eine Potenz (mit Basis ungleich Null) kann nie Null werden!
a) hier soll geprüft werden, ob nach 1 Jahr (=12 Monate) 30.000 Geräte verkauft wurden. f(x) gibt die Anzahl der verkauften Geräte nach x Monaten an; mit f(12) ermittelst Du also die Anzahl der verkauften Geräte nach 12 Monaten.
f(12)=-40.000 * e^(-0,12 * 12) + 40.000 = -40.000 * e^(-1,44) + 40.000 = 30.522
Also wurden nach 1 Jahr mehr als 30.000 Geräte verkauft.
Noch was zu den Exponentialfunktionen...:
Es gibt die Funktionsgleichungen f(x)=ab^x und f(x)=ae^(kx)
a ist der Startwert; b der Wachstumsfaktor, k die Wachstumskonstante und x die Zeit (üblich/sinnvoller ist die Variable t).
Bei begrenztem Wachstum kommt dann noch die Schwelle (S) ins Spiel:
f(x)=S-(S-a)b^x bzw. S-(S-a)e^(kx)
Du siehst, es ist alles gleich bis auf b^x und e^(kx), was das gleiche ist wie (e^k)^x (Potenzregel); b muss demnach den gleichen Wert haben wie e^k.
In Deinem Beispiel ist k=-0,12, daraus folgt:
b=e^k=e^(-0,12)=0,8869
Du könntest also genausogut f(x)=40.000 - 40.000 * 0,8869^x schreiben, das ist das gleiche wie f(x)=40.000 - 40.000 * e^(-0,12x)...
Das nur mal am Rande, weil evtl. mal nach dem k gefragt werden könnte, oder umgekehrt nach dem Wachstumsfaktor b gefragt ist und nur k bekannt ist.
Formel für begrenztes Wachstum f(t)=g-a*b^t
hier b=0,12 und g=120000/3=40000
bei t=0 ist f(0)=0 ergibt
f(0)=0=40000-a*0,12^0=40000-a*1 ergibt a=40000
Formel somit f(t)=40000-40000*0,12^t
a) mit t=1 Jahr ist f(1)=40000-40000*0,12^1=35200 Geräte
b) 50% von 40000 sind 20000
f(t)=20000=40000-40000*0,12^t
40000*0,12^t=40000-20000
0,12^t=20000/40000=0,5 logarithmiert
ln(0,12^t)=t*ln(0,12)=ln(0,5)
t=ln(0,5)/ln(0,12)=0,3269 Jahre
c) f(t)=40000=40000-40000*0,12^t
40000*0,12^t=40000-40000=0
0,12^t=0/40000=0 logarithmiert
ln(0,12^t)=t*ln(0,12)=ln(0)
t=ln(0)/ln(0,12)
hier ist Schluß,weil ln(0) nicht definiert ist,also unlösbar.
Bis 40000 Haushalte diese Geräte haben,dauert es "rechnerisch" ewig.
Beispiel: t=10 Jahre ergibt f(10)=40000-40000*0,12^10=39999 Geräte
Man kann sagen,daß nach 10 Jahren bis auf 1 Haushalt,jeder ein Gerät hat.
Der Graph f(t)=40000-40000*0,12^t nähert sich "asymptotisch" der Grenzwert
40000
Ich hoffe, meine Rechnung ist richtig.
Exponentialfunktion f(x)=No*a^x
No Anfangswert bei x=0 ergibt f(0)=)N0*a^0=No*1=No
"exponentielle Abnahme" 0<a<1
Beispiel : f(x)=10*0,8^x zeichne diese Kurve auf
"exponentielle Zunahme" a>1
Beispiel: f(x)=10*1,2^x zeiche auch diese Kurve
ich dachte außerdem, die Formel für begrenztes Wachstum lautet : f(x): (A-G) * e^-kx + G
Es gibt 2 Formeln
1) f(x)=g-a*b^x mit 0<b<1
2) mit der e-Funktion
f(x)=g-a*e^(x*ln(b))=g-a*e^(k*x) mit k<0
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2.te Auflage Bestell-Nr.: 06660
kostet so 30 Euro mit Dvd im Buchladen
Da hab ich alles abgeschrieben.
f(x)=g-a*b^x
g=Sättigungsgrenze , maximaler Wert
Anfangsbestand =g-a der Anfangsbestand ist bei x=0 also f(0) = g-a
f(0)=g-a*b^0=g-a*1
achso danke :) und könntest du die Aufgabe mit der anderen Formel lösen? ;)
gegeben ist die Wachstumskonstante k, nicht der Wachstumsfaktor b; Du müsstest das b erst einmal ausrechnen (=e^k), und dann wie beschrieben loslegen
ich verstehe Aufgabe a nicht... kannst du a bitte nochmal erklären bzw. vorrechnen. aber du hast recht, dass x = Monate sind :)