Linearkombination in einem K-Vektorraum?
Mein Problem:
1) Was meint: (grüne Markierung)? Einen beliebigen Vektor oder alle möglichen Vektoren?
2) Sollte statt V nicht K stehen (rote Markierung)?
3) Wie soll ich die Linearkombination (blau) verstehen. Wenn ich als einen beliebigen Vektor behandle, würde ja jede Zahl mit einem anderen x multipiziert werden und wenn ich mir als alle Vektoren vorstelle macht der Index doch keinen Sinn oder? Ich versteh auch nicht was der Index j auf der rechten Seite mient, da bei einer Linearkombination ja Skalarmultiplikation betrieben wird. Warum wird dann x indiziert?
vllt. weiß jemand weiter, danke und lg
3 Antworten
Hallo,
zu 1)
Um es sich zu veranschaulichen, stelle man sich als Indexmenge zunächst die Menge I = {1, 2, 3, ..., n} vor. Dann ist der Vektorraum K^I der Vektorraum Kⁿ .
Die Vektoren (Abbildungen) v₁ , v₂ , ... , vₙ sind Basisvektoren von Kⁿ,
und ein Vektor X aus Kⁿ ist eine Linearkombination dieser Basisvektoren:
X = (i=1,...,n) ∑vᵢ xᵢ , xᵢ ∈ K.
Der Vektor X hat in diesem Fall n Koordinaten bzgl. dieser Basis, nämlich
(x₁ , x₂ , ... , xₙ) , die Summe geht von 1 bis n.
Diese etwas abstrakte Art, den Vektorraum K^I einzuführen hat den Vorteil, dass die Indexmenge I beliebig sein kann, z.B. ein reelles Intervall. D.h. ein Vektor aus K^I kann dann sogar überabzählbar viele Koordinaten haben, wobei allerdings nur endlich viele verschieden von Null sind, dank der Voraussetzung "endlicher Träger".
3) Wie soll ich die Linearkombination (blau) verstehen
Wenn die Indexmenge I unendlich wäre, dann stünde dort eine unendliche Summe von Linearkombinationen der vᵢ , was erstmal keinen Sinn machen würde.
Da man aber "endlicher Träger" voraussetzt, kann ∑vᵢxᵢ (i∈I) zwar weiterhin eine unendliche Summe sein, aber nur endliche viele "Komponenten" xᵢ sind verschieden von Null. Wenn unendlich viele Koordinaten Null und nur endlich viele von Null verschieden sind, stört die "Unendlichkeit" der Summe nicht mehr.
Zu 2) Das ist ein Tippfehler, jedes vᵢ ist ein Element aus K.
Ein Vorteil der Einführung dieses Vektorraums ist die Flexibilität der Dimension bis ins Unendliche. Ein Nachteil ist das höhere Abstraktionsniveau, was sich dem Verständnis entgegenstellt.
Gruß
Du hast Recht, ich habe implizit Identifikationen gemacht.
Formell ist v eine Abb. von I nach K.
v(i) ist das Bild von i unter v, also ein Element von K.
Die Abbildung v selbst wird als Vektor aufgefasst,
Was ich nun gemacht habe (und was man insgesamt machen kann) ist, jedes v(i) als Basisvektor aufzufassen.
Machen wir uns die Sache mal einfach und setzen I = {1,2}, K = ℝ
Dann besteht der Vektorraum K^I = K^{1,2} aus allen Abbildungen von der Menge {1,2} nach ℝ.
Prinzipiell kommt jede Menge als Zielmenge in Frage
(nur kann man dann nicht mehr damit rechnen).
Genau.
Wenn man rechnen will, z.B. mit Koordinaten, dann macht man bestimmte Identifizierungen. Die Abbildung v besteht dann aus zwei reellen Zahlen, nämlich aus v(1) und v(2), also z.B. v(1) = a , v(2) = b , a,b ∈ ℝ .
Nun bildet man Linearkombinationen (LK) v(1)•x + v(2)•y = a•x + b•y
Man vergisst dabei nicht, dass das a das Bild von v(1) ist, und das b das Bild von v(2).
Um nun rechnen zu können, identifiziert man v(1) mit (a,0) und v(2) mit (0,b).
Wählt man v(1) = 1 , v(2) = 1 , dann erhält man mit dieser Identifikation die Vektoren
(1,0) und (0,1) , die sogenannte Standardbasis des ℝ² , und bildet LK von ihnen : X = v(1)x + v(2)y "=" (x,y)
und findet sich so im ℝ² wieder.
Prinzipiell kommt jede Menge als Zielmenge in Frage
Ja. Nimmt man als Zielmenge irgendeine Menge M, dann hat man also eine Abbildung von I nach M und bildet formale Linearkombinationen ∑vᵢ xᵢ .
Im Skriptum stand aber nichts von diesen Identifikationen bist du sicher es war so gemeint?
Nein, ich bin nichtmal sicher, dass es so gemeint ist.
Ich sage nur, dass man diese Identifikation machen kann.
Und wenn man sie macht, dann findet man im endlichen Fall den ℝⁿ oder den Kⁿ wieder.
Mir persönlich hilft es, wenn ich eine Verbindung vom Bekannten (ℝⁿ oder Kⁿ) zum Allgemeinen, Abstrakten (K^I) herstellen kann. Ich habe dann den Eindruck, es besser zu verstehen.
Vielleicht gibt es auch Menschen, die diese Art zu "verstehen" nicht brauchen und nicht suchen.
In der mathematischen Literatur kommt es jedenfalls oft vor, dass Identifikationen stillschweigend gemacht werden. Als Anfänger kommt man dann schnell ins Schleudern, weil man entweder von der Identifikation nichts weiß, oder man hat von ihr eine vage Kenntnis, aber es entstehen dann formale Unsauberkeiten.
Das ist mir beim Studium oder Lesen neuer mathematischer Texte wirklich sehr oft passiert. Mir hat es dann geholfen, wenn ich darüber mit anderen Leuten diskutieren konnte.
Danke für deine positive Bewertung. :)
Übringens hier die Antwort auf 2) von meinem Prof:
nein, das "V" ist dort beabsichtigt - die Abbildung
i -> v_i soll hier vektorraumwertig sein...
Prinzipiell kommt jede Menge als Zielmenge in Frage
(nur kann man dann nicht mehr damit rechnen).
Im Bsp/Def davor (104:2(12)) ist die Zielmenge der
Koerper, aber wir brauchen dort nur die Vektorraum-
operationen von K als VR ueber sich selbst...
1) ich denke vi ist ein beliebiger Vektor mit den Komponenten v(i=1,2,3,..)
i nummeriert also die Komponenten
2) V ist einfach die Menge aller möglichen Vektoren, derern Indices Elemente von I sind
3) ich glaub, in der gleichung ist der Wurm drin. Er will sagen, eine Linearkombination ist die Summe von soviel Vektoren wie es Indices gibt, jeder mulipliziert mit einem anderen Faktor xi. Da x auch indiziert ist über alle Elemente von I verwendet er i doppelt
"2) V ist einfach die Menge aller möglichen Vektoren, derern Indices Elemente von I sind" Was V ist weiß ich aber sollte an der Stelle nich eher K stehen? Aber Danke auf jeden Fall. Zu 3) scheint deine Erklärung doch sinnvoll.
1) man kann eine Abbildung auch anhand ihrer Bildmenge (v_i) charakterisieren. Hierbei handelt es sich also um eine Menge von Körperelementen Die einzelnen Körperelemente v_i sind in der Bildmenge enthalten.
2) Du hast recht. Scheint ein Tippfehler zu sein.
3) Für mich macht die Definition so auch keinen Sinn.
Danke, also zu 1) also ein 1 Vektor in K und nicht alle möglichen Vektoren oder ?
Die Menge (v_i) ist ein Vektor, also ein Element im Vektorraum V. Die einzelnen v_i sind Elemente aus K
Zunächst einmal, vielen Dank für deine detaillierte Antwort.
Ich denke mein Problem ist jedoch nicht ganz klar:
Bei Grün wird (vi)i∈I behandelt wie ein einzelner Vektor, bei blau jedoch wie eine Menge {v₁ , v₂ , ... , vₙ} von Basisvektoren. Was ist (vi)i∈I eine einzelne Abbildung, also ein einzelner Vektor oder mehrere Abbildungen also mehrere Vektoren?
Noch mehr verwirrt mich deine Antwort zu 2): „Das ist ein Tippfehler, jedes vᵢ ist ein Element aus K.“
Du behandelst v1 aber als Basisvektor also aus V nicht aus K. Oder meinst du irgendwie, dass vᵢ aus K definiert wird durch vᵢxᵢ aus V?