Lässt sich aus dem charakteristischen und dem minimal Polynom einer Matrix die Jordanform dieser eindeutig bestimmen?

ohne Reihenfolge der Anordnung der Jordanblöcke in einer 4x4 Matrix in den komplexen Zahlen

Answer 1

[petronex]

Nein, lässt es sich nicht:

Angenommen für gegebene 4x4 Matrix A gilt:

$χ_A​(λ)=(3−λ)^4$

Sei das Minimalpolynom zudem

$\left(3-x\right)^2$

Folglich ist die maximale Größe eines Jordanblockes 2.
Nun gibt es folgende Möglichkeiten für die Größe der Jordanblöcke:
2x Größe 2 und 0x Größe 1
oder 1x Größe 1 und 2x Größe 1

Folglich kann man die Jordanform einer Matrix nicht nur mit Hilfe des char. und min. Polynoms eindeutig bestimmen.

Wenn die Matrix aber nur Größe 3 oder weniger hat, kann man die Jordanform eindeutig bestimmen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik

Comments

[steve123987]

Also lässt sich durchdas genannte Gegenbeispiel der Behauptung widersprechen?

[petronex]

@steve123987

Das ist die Beweisskizze, welche die Aussage widerlegt.

[petronex]

@petronex

Aber ein formaler Beweis ist das nicht

[steve123987]

@petronex

Was müsste man noch zu einem formalen Beweis ergänzen?

Answer 2

[tearlist]

Lässt sich aus dem charakteristischen und dem minimal Polynom einer Matrix die Jordanform dieser eindeutig bestimmen?

Nein, diese beiden Polynome reichen im allgemeinen nicht aus