Kann mir jemand mit diesem Mathe Rätsel helfen?
2 Antworten
Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet
Stelle dir einfach mal vor, du würdest das innere Dreieck um 60° drehen. Dann sieht man die Lösung auf Anhieb ;-)
Ohne Angaben, kann ich das iwie nicht ausrechnen, aber da das kleinere Dreieck etwas von dem größeren auch beinhaltetet entweder gleich oder 1/4.
easylife2
19.02.2023, 09:59
@MineStupidio
A1/A2 = (√3/4 a^2)/(√3/12 a^2) = (3/4)/(1/4) = 3
Beim kürzen des Bruchs ist dir leider auf dem letzten Meter noch ein kleiner Fehler unterlaufen: (3/4)/(1/4) ist nicht ganz richtig, es müsste hier A1/A2=(1/4)/(1/12) heissen, dann kommt auch das richtige Ergebnis (A1/A2=4) heraus.
Sei ABC das ursprüngliche gleichseitige Dreieck und I der Mittelpunkt des Inkreises. Sei DEF das zweite gleichseitige Dreieck, dessen Umkreis der Inkreis von ABC ist.
Da DEF gleichseitig ist, sind alle Seiten gleich lang. Sei a die Länge der Seiten von ABC und DEF. Da der Inkreis von ABC DEF umschließt, ist der Abstand zwischen den Seiten von DEF und dem Mittelpunkt I des Inkreises von ABC gleich dem Radius r des Inkreises von ABC.
Die Höhe h von ABC kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden, da ABC ein gleichseitiges Dreieck ist:
h = √(a^2 - (a/2)^2) = √(3/4 a^2) = √3/2 a
Der Flächeninhalt A1 von ABC kann als halbe Basis mal Höhe berechnet werden:
A1 = 1/2 * a * h = 1/2 * a * √3/2 a = √3/4 a^2
Der Inkreisradius r von ABC kann ebenfalls in Abhängigkeit von a ausgedrückt werden:
r = h/3 = (√3/2 a)/3 = √3/6 a
Der Umkreisradius R von DEF ist gleich dem Inkreisradius r von ABC:
R = r = √3/6 a
Der Flächeninhalt A2 von DEF kann auch als halbe Basis mal Höhe berechnet werden:
A2 = 1/2 * a * R = 1/2 * a * √3/6 a = √3/12 a^2
Das Verhältnis der Flächeninhalte von ABC und DEF ist dann:
A1/A2 = (√3/4 a^2)/(√3/12 a^2) = (3/4)/(1/4) = 3
Daher ist das Verhältnis der Flächeninhalte von ABC zu DEF 3:1.