Kann mir jemand im Thema Relationen helfen?

Hallo,

ich habe hier zwei Aufgaben, verstehe aber ehrlich gesagt nicht, was ich genau da machen soll. Ich weiß was Relationen sind und welche Klassen es gibt, aber ich brauche mehr Verständnis.

 

Aufgabe 1)

Wir betrachten die Menge X = {x, y, z} mit paarweise verschiedenen Elementen x, y, z, d. h. es gilt x ∕= y ∕= z ∕= x und die Relationen R 1 = {(x, z),(x, y),(y, z)}, R 2 = {(x, y),(x, x),(z, y),(z, z),(y, y),(y, x),(z, x),(y, z),(x, z).} (i) Geben Sie R −1 1 , R 1 ◦ R 2, R 2 ◦ R 1 und R −1 1 ◦ R 1 an. (ii) Überprüfen Sie die beiden Relationen auf X auf Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Asymmetrie und Transitivität.

Aufgabe 2)

 Betrachten Sie die Relation R = {(1, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 5),(5, 6),(7, 1)} auf X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Geben Sie R^ n (für n ∈ N und R n ∕= ∅) als auch die reflexive, die symmetrische, und die transitive Hülle von R an.

Würde mich über eine Erklärung freuen.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

[MagicalGrill]

Dieses Aufgabenblatt ist hier ganz schön prominent...

Frage 1 🤔

Frage 2 🤔🤔

Frage 3 🤔🤔🤔

Aber auch für dich schreibe ich gerne noch einmal: Fang damit an, die Definitionen aufzuschreiben. Es ist schwierig, R^(-1) zu berechnen, wenn du nicht weißt, was mit R^(-1) überhaupt gemeint ist.

Daher: Was ist - ganz allgemein - die Definition für R^(-1), wenn R eine Relation ist? Und was ist - ganz allgemein - unter der Verkettung R1 ° R2 von zwei Relationen R1 und R2 zu verstehen?

Comments

[GymBuilder18]

Das ist ja mal geil ahahahhahah. Naja jedenfalls ich fresse mich da rein aber verstehe noch einiges, da ich zu spät immatrikuliert worden bin, aber ja ich lerne permanent.

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Tu das. Weil ich es langsam leid bin, nie ne Antwort zu bekommen, wenn ich nach ner Definition frage, geb ich dir sofort ne Definition mit ;)

Eine Relation ist ja normalerweise eine Menge, die nur aus geordneten Paaren besteht - das sind einfach nur "Dinger" mit zwei Komponenten, also sowas wie (1,2) oder ("rot", "blau").

Wenn nun R eine Relation ist, dann ist R^(-1) die Relation, die man erhält, indem man für jedes geordnete Paar aus R die Reihenfolge "umdreht". Also wenn z.B.

R = { (1,2), (3,4), (blau, grün) } ist, dann ist

R^(-1) = { (2,1), (4,3), (grün, blau) }.

Mit diesem Wissen kannst du locker schonmal R1^(-1) berechnen - danach sehen wir weiter 😀

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Das ist nett von dir, vielen dank ich lese mir das jetzt erstmal durch ^^

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Okay also ich hab jetzt mal das erste ausgerechnet: R1^-1: {(z,x) , (y,x), (z,y) ist das richtig?

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Stimmt. Jetzt kommen wir zum ersten großen Punkt: Die Verkettung von Relationen.

Wenn R und S zwei Relationen sind, dann kann man versuchen, die miteinander zu verknüpfen. Wir berechnen die Verkettung R ° S wie folgt:

Wenn (a,b) ein Element von S ist und (b, c) ein Element von R, dann ist (a,c) ein Element von R ° S.

Oder formal als Definition ausgedrückt:

R ° S besteht genau aus allen Paaren (a,c), für die es ein Paar (a,b) in S und ein Paar (b,c) in R gibt [beachte, dass sich diese Paare ein gemeinsames b teilen müssen!]

Hiermit kannst du mal versuchen, R1 ° R2 zu ermitteln. Wenn das stimmt, kannst du auch gleich den Rest von 5 (i) machen.

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Kannst du ein genaues Beispiel mir geben für die Verknüpfung? Wenn ich das hinbekomme, dann bin ich schon mal um eine Aufgabe schlauer xD

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Bevor ich dir ein Beispiel vorrechne, vielleicht zum intuitiven Verständnis:

Angenommen S ist die Relation "Ist Vater von" [also (x,y) ∈ S bedeutet "x ist Vater von y"] und R ist die Relation "Ist Bruder von" [also (x,y) ∈ R bedeutet "x ist Bruder von y"].

Angenommen, wir haben (Bernd, Anna) ∈ S und (Theo, Bernd) ∈ R.

Bernd ist also Annas Vater und Theo ist Bernds Bruder. Damit ist:

Theo der Bruder von Annas Vater [oder kurz ausgedrückt: Annas Onkel].

Ganz allgemein: Wenn (x,y) ∈ S und (y,z) ∈ R ist, dann ist x der Bruder vom Vater von z und somit ist x der Onkel von z.

Die Verknüpfung S ° R ist somit die Relation "Ist Onkel von".

Nun zu deinem Beispiel: Ich sehe z.B. dass (x,y) ∈ R2 gilt und dass (y,z) ∈ R1 ist. Somit muss (x,z) ∈ R1 ° R2 gelten.

Das kannst du jetzt für alle Kombinationen von Paaren durchführen, bei denen die zweite Komponente vom R2-Paar dasselbe ist wie die erste Komponente vom R1-Paar.

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Ok ist mir nicht so einfach gefallen, aber ich habe es versucht: {(x,z), (x,z), (x,y), (y,z), (y,z), (y,y), (z,z), (z,y)} Ist das richtig?

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

oder kann man, wenn was doppelt ist, es einfach weglassen?

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Ist richtig! Und ja, du brauchst jedes Element nur einmal aufzuschreiben.

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Perfekt du bist mein Held! ^^ Ok gut und jz wie rechne ich das bei (ii)?

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Oh, ich dachte du willst jetzt erstmal den Rest von (i) machen, aber wir können auch über (ii) reden.

Nun bist du an der Reihe, denn für zukünftige Aufgaben musst du unbedingt lernen, Definitionen nachzuschlagen, ansonsten bist du auch in der Klausur auf gutefrage angewiesen ;)

Was steht in deinem Skript, wann eine Relation "reflexiv" ist?

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Ich bin schon fertig deswegen ich hab das schnell dann gemacht :D!

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

reflexiv, wenn x R x für alle x ∈ X.

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Kollege hat auch gesagt, dass man es sich bildlich veranschaulichen kann, aber ich würde es gerne nochmal durchrechnen

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Ok, die Definition passt :) Ist die Definition für dein R1 erfüllt? Und warum/warum nicht?

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Nein

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Warum nicht?

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Weil x für kein x  ∈ X zeigt?

[GymBuilder18]

@GymBuilder18

zumindest müsste bei R1 bspw. (x,x), (y,y) und (z,z) stehen

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Ok, die Argumenation gefällt mir :) Ist R2 reflexiv?

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Ja R2 schon, weil  (x,x), (y,y) und (z,z) vorhanden sind :)

[MagicalGrill]

@GymBuilder18

Ok, easy 😉

Weiter gehts mit Symmetrie:

• Definition?
• Erfüllt für R1?
• Erfüllt für R2?

Wenn du das alleine hinkriegst, kannst du die anderen Eigenschaften alleine probieren und dich nur bei Problemen melden :)

[GymBuilder18]

@MagicalGrill

Perfekt, kann man dich anders kontaktieren, weil du scheinst echt ne super Hilfe zu sein! ^^

Answer 2

[ToniKim]

(x,z) - 1 1 = (x-1, z-1)

(x,z) * (a,b) = (xa, zb)

R 1 ist nicht reflexiv weil Element(x,x) fehlt

R 1 ist nicht symmetrisch, weil es zwar (x,z) gibt aber nicht (z,x) in R1

Transivität ist dann gegeben wenn: aus (a,b)R(b,c) => (a,c) Element der Relation

R 1: (x,y)R1(y,z) => (x,z) Element(R1) also gegeben

Bin unsicher aber die Aufgabe2 ist nicht lösbar, weil man aus (1,2) keine (2,1) machen kann, mit Multiplikation nicht, was R^n erfordert?

Comments

[GymBuilder18]

Meinst du R2 oder allgemein die Aufgabe 2?

[ToniKim]

@GymBuilder18

Allgemein, wie will man da aus (1,2) * (x,y) = (2,1) machen?

[GymBuilder18]

@ToniKim

Das steht halt in der Aufgabe ... Aber was ist mit R2 weil du hast nur R1 angegeben ?

[ToniKim]

@GymBuilder18

machs bitte selber

[GymBuilder18]

@ToniKim

Danke für die tolle Hilfe!