Ist eine Leere Menge reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv(Relation)?
2 Antworten
Allgemein gilt:
Sei R ⊆ A x A eine homogene Relation auf der Menge A, so heißt R
Ist nun also R = ∅ ⊆ A x A, so gilt:
Alle Implikationen in obiger Definition sind trivialerweise wahr, weil die linke Seite der Implikationen falsch ist, da die leere Menge keine Elemente hat. Somit ist die Relation transitiv, symmetrisch, antisymmetrisch und asymmetrisch. Die Relation ist darüber hinaus genau dann reflexiv, wenn A = ∅.
Ist dagegen R ⊆ A x A mit A = ∅, so gilt:
Da A keine Elemente hat, werten sich alle Ausdrücke mit Allquantor trivialerweise zu wahr aus. Somit ist die Relation R reflexiv, transitiv, symmetrisch, antisymmetrisch und asymmetrisch.
Mal abgesehen von Reflexivität gelten die ganzen Eigenschaften für die leere Relation trivialerweise. Reflexivität hängt von der Grundmenge ab.
Nein, in der Menge sind "echte" Zahlen drinnen. Die Aufgabe ist "Entscheiden Sie für die folgenden Relationen auf der Menge M = {1, 2, 3}, ob sie reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv sind. Begründen Sie Ihre Aussage, wenn eine Relation eine Eigenschaft nicht besitzt."(und ich soll es unteranderem für ∅ sagen) und ich weis halt nicht was für Eigenschaften diese leere Menge haben kann.
hier ist doch die Relation zwischen leerer Menge und leerer Menge gemeint , oder ?