Kann mir jemand hierbei helfen?
2 Antworten
Du möchtest eine Funktion finden, die die beiden Punkte B und C verbindet.
Ein paar Vorüberlegungen....
Eine Einfache Verbindung wäre eine Gerade durch die beiden Punkte zu legen. Die Bedingungen dazu wären:
k(x = 0) = 0 Das ist Punkt B.
k(x = 5) = 2,5 Das ist Punkt C.
Die Geradengleichung dazu wäre k(x) = 2,5x
Die Straße hat aber nun gleich zwei Knicke, das ist doof. Die rote Funktion muss also in Punkt B die Steigung der grünen Funktion haben. In Punkt C muss die rote Funktion die Steigung der blauen Funktion haben. Das sind zusätzliche Bedingungen.
Die grüne Funktion f(x) lautet f(x) = 2x. Die Steigung soll 2 sein in Punkt B. Das heißt k'(x = 0) = 2
Die blaue Funktion g(x) lautet f(x) = -1*x+7,5. Die Steigung soll -1 sein in Punkt C. Das heißt k'(x = 5) = -1 Punkt C hat die x-Koordinate x=5.
Zusätzlich soll gemäß Aufgabenstellung die Funktion k(x) den Grad 5 haben:
k(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2+ ex + f
k(x = 0) = 0 = f Das folgte aus der ersten Bedingung.
Ableitung: k'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 + 2dx + e
k'(x = 0) = 2 = e Das war die dritte Bedingung die sagt e = 2
k(x = 5) = 2,5 = 3125a + 625b + 125c + 25d+ 10 Das war die zweite Bedingung
k'(x = 5) = -1 = 2500a + 500b + 75c + 10d +2
Weiterhin soll die Funktion in Punkt P(0|0) und Punkt C einen Wendepunkt haben. Das müsste meiner Meinung nach nicht unbedingt sein, stellt aber sicher, dass der Fahrer maximal "smooth" in die Kurve gleitet und wieder heraus.
Zweite Ableitung: k''(x) = 20ax^3 + 12bx^2 + 6cx + 2d
k''(0) = 0 = d
k''(5) = 0 = 2500a + 300b + 30c
Noch mal zusammengefasst:
2,5 = 3125a + 625b + 125c + 10
-1 = 2500a + 500b + 75c +2
0 = 2500a + 300b + 30c
Das Gleichungssystem nun lösen. Die Lösung ist:
a=0
b=0,012
c=-0,12
Nicht vergessen e = 2 (bereits oben gerechnet)
Die Funktion lautet:
k(x) = 0,012x^4 - 0,12x^3 +2x
Fazit: Der Ansatz war eine Funktion 5. Grades zu verwenden und es kam eine Funktion 4. Grades heraus. Wie in der Aufgabenstellung beschrieben. Nun darfst du dir deine Straße anschauen.
g(x) = 2x
h(x) = -x + 15/2
k''(x0) = 0
-> k"(x) = a•(x-x0) wobei a ist eine reele Zahl
Also k"(x) = ax-ax0
dies integrieren:
k'(x) = ½•a•x² - a•x0•x + C
und k'(0) = g'(0) und k'(5) = h'(5)
Das erste;
k'(0) = ½•a•0² - a•x0•0 + C = 0 + C
g'(x) = 2
g'(0) = 2
also 0 + C = 2 , C = 2
Also k'(x) = ½•a•x² - a•x0•x + 2
Das zweite;
k'(5) = ½•a•5² - a•x0•5 + 2 = 25•a/2 - 10a•x0 + 2
h'(x) = -1
h'(5) = -1
Also 25•a/2 - 10a•x0 + 2 = -1
a(12,5 - 10x0) = -3
a = -3/(12,5 - 10x0)
Also k'(x) = -3/(2(12,5 - 10x0))x² +3/(12,5 - 10x0)•x0•x + 2
Das jetzt integrieren;
k(x) = -x³/(2(12,5 - 10x0)) + 3/(2(12,5 - 10x0))•x0•x² + 2x + C
k(0) = 0
also C= 0
also k(x) = -x³/(2(12,5 - 10x0)) + 3/(2(12,5 - 10x0))•x0•x² + 2x
k(5) = 5/2 = -x³/(2(12,5 - 10x0)) + 3/(2(12,5 - 10x0))•x0•x² + 2x
x0 finden;
5/2 = -x³/(2(12,5 - 10x0)) + 3/(2(12,5 - 10x0))•x0•x² + 2x | •(2(12,5 - 10x0)
5(12,5 - 10x0) = -x³ + 3x0•x² + 4(12,5 - 10x0) | -4(12,5 - 10x0)
12,5 - 10x0 = -x³ + 3x0•x²
-10x0 - 3x0•x² = -x³ -12,5
-x0(10 - 3x²) = -x³ -12,5
x0 = (-x³ -12,5)/(10 - 3x²) = (x³ + 12,5)/(3x² -10)
x0 einsetzen;
k(x) = x³/( 2 (12,5 - 10( (x³ + 12,5)/(3x² -10) ) ) ) + 3/(2(12,5 - 10( (x³ + 12,5)/(3x² -10) ) ) ) • (x³ + 12,5)/(3x² -10) • x² + 2x
und das ist die Lösung🤣
Ja, ich weiß, das sieht echt komisch aus(das obere muss man noch sauber machen) aber es ist vom 5. Grad, wie es in der Aufgabe steht.
ich hoffe, das ist richtig..!! 🤣🤣
LG Hanel