Ist es erlaubt eine Mitteilung an den Mieter im Treppenhaus und im lift öffentlich zu kleben und ihn darin zur Mietzahlung aufzufordern?

Nein! Hier geht es um die Privatsphäre des Mieters. Eine Aufforderung kannst Du ihm persönlich zustellen. Per Post - Einschreiben mit Rückantwort, um sicherzugehen, dass er die Aufforderung auch bekommen hat, oder einfacher: stecke sie in seinen Briefkasten.

Aber keinesfalls öffentlich im Haus oder Fahrstuhl anbringen.

Nein, der Vermieter muss andere (Rechts)wege bestreiten.

Amtsgericht München: 422 C 17314/13

Nicht erlaubt, der Mieter hätte einen Unterlassungsanspruch gegen dich, der sich in seinem Persönlichkeitsrecht begründet.

Strafbar wäre das wohl nicht. Aber zivilrechtlich könnte der Mieter den "Zettelkleber" zur Unterlassung auffordern. Und die Kosten hätte dann der "Zettelkleber" zu tragen.

Nein. Das kann für den Vermieter richtig teuer werden.