Ist die Stammfunktion von ln(4x) gleich (4x*ln(4x)-4x)/4?

Laut online Rechnern schon, aber ich will nochmal sicher gehen^^

Answer 1

[poseidon42]

Sei a > 0 , so folgt

$\int\ \ln\left(ax\right)\ dx\ =\int\ x'\ \cdot\ \ln\left(ax\right)\ dx\$ da ja bekanntlich x' = 1 gilt. Anwenden der partiellen Integration liefert:

$=\ x\cdot\ln\left(ax\right)\ -\ \int\ x\cdot\left(\ln\left(ax\right)\right)'\ dx\ \$ und mit der Ableitung (ln(ax))' = a/(ax) = 1/x folgt

$=\ x\cdot\ln\left(ax\right)\ -\ \int\ \frac{x}{x}\ dx\ \ =\ x\cdot\ln\left(ax\right)\ -\ \int\ 1\ dx$ und mit

$\int\ 1\ dx\ =\ x\ +\ const.$ erhalten wir schließlich

$=\ x\cdot\ln\left(ax\right)\ -\ x\ +\ const.$ Somit lautet die Stammfunktion von f(x) = ln(ax) also

$F\left(x\right)\ =\ x\cdot\left(\ln\left(ax\right)\ -\ 1\right)\ +\ const.\ \ ,\ \ für\ \ \ a\ >\ 0$

Im Spezialfall a = 4 damit also

$=\ x\cdot\left(\ln\left(4x\right)\ -\ 1\right)\ +\ const.$ was genau deinem gefundem Ausdruck entspricht (vergiss die Konstante nicht !!!).

Answer 2

[DerGedanke]

Ja das stimmt.