Frage von morgensternnn, 60

Stammfunktion von (4x^2-4x-8)×e^(-1/2x)?

In den Lösungen steht: (-8x^2-24x-32)×e^-1/2x

Wie kommt man auf das Ergebnis? Meine Stammfunktion war: (4/3x^3-4/2x^2-8x)×e^(-1/2x)

Habe ich das falsch gemacht? Wie leitet man genau die Funktion auf?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 16

Hallo,

∫[4x²-4x-8)*e^(-0,5x)] wird nach dem Muster 

∫(f'*g)=f*g-∫(f*g') integriert (partielle Integration).

Einer der beiden Funktionen, die durch eine Multiplikation verbunden sind, wird also als eine Ableitung aufgefaßt.

Wenn einer der Funktionen eine e-Funktion ist, wählt man am besten diese als f', weil die e-Funktion auf sich selbst ableitet. In diesem Fall, weil die e-Funktion hinten steht, nennst Du sie g'.

∫(f*g')=f*g-∫(f'*g)

Am besten machst Du Dir zunächst eine kleine Liste, in der Du f, g, f' und g' aufführst:

f=4x²-4x-8
f'=8x-4
g'=e^(-0,5x)
g=-2e^(-0,5x) Muster: a*e^(bx)=(a/b)*e^(bx), wenn a und b Konstanten ungleich Null sind.

f*g-∫(f'*g)=

(4x²-4x-8)*(-2)*e^(-0,5x)-∫[(8x-4)*(-2)*e^(-0,5x)]

Der erste Teil kann erst mal so bleiben; nun kümmerst Du Dich um das Restintegral und baust später alles zusammen:

∫[(8x-4)*(-2)*e^(-0,5x)]

Auch hier wendest Du wieder die partielle Integration an.

Diesmal kannst Du die beiden Funktionen u und v nennen.

u=8x-4
u'=8
v'=(-2)*e^(-0,5x)
v*4e^(-0,5x)

(8x-4)*4e^(-0,5x)-∫(8*4e^(-0,5x)

Dieses Integral ergibt -64*e^(-0,5x),

so daß Du hier (8x-4)*4e^(-0,5x)+64e^(-0,5x) erhältst.

Nun baust Du alles zusammen:

(4x²-4x-8)*(-2)e^(-0,5x)-(8x-4)*4e^(-0,5x)-64e^(-0,5x)

Da in jedem Summanden der Faktor e^(-0,5x) erscheinst, kannst Du diesen ausklammern:

e^(-0,5x)*[(-2)*(4x²-4x-8)-4*(8x-4)-64]

In der eckigen Klammer kannst Du nun einiges ausmultiplizieren und zusammenfassen:

e^(-0,5x)*(-8x²+8x+16-32x+16-64)=

e^(-0,5x)*(-8x²-24x-32), was der angegebenen Lösung entspricht.

F(x)=e^(-0,5x)*(-8x²-24x-32)+C

Du kannst auch die -8 aus der Klammer herausziehen:

F(x)=-8e^(-0,5x)*(x²+3x+4)+C, das ist einfacher, falls Du irgendwelche Nullstellen finden mußt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Hier gibt es allerdings keine reellen für F(x).

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 15

Die Funktion, die du aufleiten willst, ist ein Funktionenprodukt. Das Polynom ist da bloß der erste Faktor dieses aufzusetzen ist im allgemeinen keine Aufleitung der Funktion selbst. Es ist gar nicht selbstverständlich, dass bei so einem Produkt überhaupt eine elementar angebbare Funktion bei so etwas herauskommt.
Um es zumindest zu versuchen, muss zu die Technik des partiellen Integrierens anwenden. Dabei interpretierst du eine der beiden Faktor-Funktionen als eine bereits auf geleitete und eine als eine abgeleitete Funktion und versuchst gewissermaßen, die Produktregel in umgekehrter Richtung anzuwenden.
Wenn du Glück hast, geht das Ganze auf und Du hast Deine Stammfunktion.
Die musst du dann natürlich testen, indem du sie noch einmal ableitest und hoffentlich die ursprüngliche Funktion wieder herausbekommst.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 3

Die beiden Funktionen f1(x)=4 *x^2 -4 *x -8 und f2(x)=e^(-0,5x) kann man nicht zusammenfassen,deshalb muss hier die "Partielle Integration" durchgeführt werden !!

Formel S u * dv=(u *v - S v * du )      + C   (S ist das Integralzeichen)

Die Konstante C wir ganz zum Schluß,nach der ganzen Rechnung angefügt !!

u=4 * x^2 - 4 *x - 8 abgeleitet u´=du/dx=8 *x - 4 eribt du=(8 *x - 4) *dx

dv=e^(-0,5 *x) integriert v = - 2 * e^(-0,5x) eingesetzt ergibt

S u *dv=(4 *x^2 -4 *x -8) * (-2) *e^(-0,5x) - S (-2) *e^(-0,5x) * (8x - 4) *dx

Problem : Hier tauchen wieder 2 Funktionen auf e^(-0,5x) und (8x - 4)

Also muss nochmals die "Partielle Integration" durchgeführt werden

u=8 *x - 4 abgeleitet u´=du/dx=8 ergibt du=  8 *dx

Wir haben nun nur noch bei der 2.ten Anwendung 1 Funktion im Integral

e^(-0,5 x)

Fazit : bei dieser Aufgabe muss man die "Partielle Integration" 2 mal anwenden !!

Ich mach das hier nicht,is mir zu aufwendig,krieg ich nicht bezahlt !! 

Antwort
von eddiefox,

Hallo,

eine Bemerkung zum Anfang: die Notation ist etwas irreführend, da e^(-1/2x) hier sicher als e^(-0.5)x) gemeint ist, bedeutet aber ohne die Klammer e^(-1/(2x)), was die Aufgabe erschweren würde (und dann käme ein anderes Ergebnis heraus).

Notation: I sei das Integralzeichen; Beispiel I x dx = x²/2

f(x)=e^(-0.5x)(4x²-4x-8); 

partielle Integration : I u'v dx = uv - I uv' dx

wobei u und v als Funktionen von x zu verstehen sind.

u'=e^(-0.5x) => u = -2e^(-0.5x); v = (4x²-4x-8) => v'=8x-4

I f(x) dx = -2e^(-0.5x) (4x²-4x-8) -I -2e^(-0.5x) (8x-4) dx =

-2e^(-0.5x) (4x²-4x-8) +2I e^(-0.5x) (8x-4) dx = -2e^(-0.5x) (4x²-4x-8) +2A 

mit A = I e^(-0.5x) (8x-4) dx

Nun partielle Integration für A :

u'=e^(-0.5x) => u = -2e^(-0.5x); v =(8x-4) => v'=8; also

A = -2e^(-0.5x)(8x-4) - I -2e^(-0.5x)*8 dx = -2e^(-0.5x)(8x-4) + 16 I e^(-0.5x) =

-2e^(-0.5x)(8x-4) + 16 (-2e^(-0.5x)) = -2e^(-0.5x)(8x-4) - 32e^(-0.5x)

Einsetzen von A in das Ergebnis von I f(x)dx :

I f(x)dx = -2e^(-0.5x) (4x²-4x-8) +2A =

-2e^(-0.5x) (4x²-4x-8) + 2(-2e^(-0.5x)(8x-4) - 32e^(-0.5x)) =

vereinfachen ... =

e^(-0.5x) ( -8x² +8x +16 -32x +16 -64) = e^(-0.5x) (-8x² -24x -32)

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