Intervallschachtelung ohne Taschenrechner?
Hallo,
wie soll das ohne Taschenrechner funktionieren? Woher will man wissen, dass 3,3166^2 die Wurzel aus 11 ist?
Wie??
3 Antworten
Es handelt sich um eine monoton steigende, stetige Funktion ƒ : ℝ ⟶ ℝ der Form x ⟼ x²–11 und die (positive) Nullstelle zu finden. Hier das Verfahren von [PrinzEugen3] nochmals, anders verfasst:
Schritt 0. Finde x[0]≥0 die Zahl mit 0 Nachkommastellen (das heißt x ∈ ℕ) mit Lösung zu ƒ(x)=0 in J⁽⁰⁾ = [x[0],x[0]+1). In unserem konkreten Fall ist dies x[0]=3.
Für alle n>0…
Schritt n. Man findet x[n]≥0 eine Zahl mit n Nachkommastellen, mit Lösung zu ƒ(x)=0 in J⁽ⁿ⁾ = [x[n], x[n]+10˜ⁿ).
Herleitung:
Anhand x[n–1] ist dies einfach zu finden: Aus Schritt n–1 ist die Lösung zu ƒ(x)=0 in J⁽ⁿ˜¹⁾ = [x[n–1], x[n–1]+10·10˜ⁿ). Wegen Monotonie und der Eindeutigkeit der Nullstelle gilt ƒ(x[n–1])≤0 und ƒ(x[n–1]+10·10˜ⁿ)>0.
Man kann das Intervall in 10 Teile verfeinern: logisch gesehen muss es ein k ∈ {0; 1; …; 10–1} geben mit ƒ(x[n–1]+k·10˜ⁿ)≤0 und ƒ(x[n–1]+(k+1)·10˜ⁿ)>0. Wegen Monotonie ist dies eindeutig. Sei x[n]=x[n–1]+k·10˜ⁿ. Da ƒ stetig ist, gibt es aufgrund der Randbedingungen ein x ∈ J⁽ⁿ⁾ := [x[n], x[n]+10˜ⁿ) mit ƒ(x)=0. Schritt n erledigt.
Nochmals: um x[n] aus x[n–1] zu bestimmen, muss man lediglich das größte k ∈ {0; 1; …; 10–1} finden mit ƒ(x[n–1]+k·10˜ⁿ)≤0 und dann setzt man x[n]=x[n–1]+k·10˜ⁿ.
ALLGEMEINER.
Im Allgemeinen geht es darum, ein x zu finden mit genügend Nachkommastellen, so dass man „weiß“, das die echte Lösung x* nicht weit vom x liegt. Angenommen, wir wollen
nNachkommastellen… und wir wollen das langsame Verfahren oben nicht verwenden, sondern z. B. das Newton Verfahren.
Man setzt
kgenügend groß. Wie groß? wir werden das anschließend besprechen.
- Mittels eines fixierten Verfahrens finde man eine numerische Approximation x nach endlich vielen Schritten des Verfahrens, bis ƒ(x–10˜ᵏ)<0 und ƒ(x+10˜ᵏ)>0 gelten. (Dies wird irgendwann auftreten, da das Verfahren sich der exakten Lösung beliebig nahe nähert.)
- Ab hier weiß man wegen Stetigkeit von ƒ, dass die exakte Lösung x* erfüllt x* ∈ (x–10˜ᵏ, x+10˜ᵏ).
- Nun stimmen die Nachkommstellen von x–10˜ᵏ und x+10˜ᵏ bis k–1 Stellen (außer x ist beispielsweise der Form a,b…z0000 oder a,b…z9999).
- Gleiches gilt für jede Zahl in dem Intervall und daher für x*. Damit weiß man x* zu k–1 Nachkommastellen.
Jetzt weiß man, dass oben der Wert k=n+1 genügt… solange der problematische Fall nicht auftritt. In solchen Fällen, da es sich bei der Lösung um eine
irrationale Zahlhandelt, kann dies nicht ewig weitergehen: man berechne in solchem Fall einfach weiter bis die abschließenden 0er oder 9er (d. h. ab Stelle
k) aufhören. Dies wird wegen Irrationalität geschehen.
ich kenne das unter dem Namen interpolieren, du suchst für eine Zahl die benachbarten Quadratzahlen und näherst dich deiner Zahl an.
Unterhalb von 11 liegt die 9; die Quadratzahl von 9 ist drei. Oberhalb von ist 16 die nächste Quadratzahl, die lautet 4. An welcher Zahl liegt die 11 näher dran ?
sie ist von 16 funf Zahlpunkte entfernt, sie ist von 9 nur zwei Zahlpunkte entfernt, demzufolge liegt die gesuchte Quadratwurzel aus 11 eindeutig näher bei 3 als bei 4 , und zwar weit unter 3, 5 (denn sonst läge die 11 von der 9 und der 16 gleichweit entfernt , tut sich nicht.
Quadratzahl liegt also unter von 3,5
Dann mach ich weiter mit try und error und nähere mich der gesuchten Zahl an , unterhalb von 3,5 (aber über 3,0) liegt die 3,4
3,4 x 3, 4 = 11,56 also noch etwas zu gross
also vielleicht : 3,35 x 3,35 = ausrechnen
usw.
hoffe ich konnte helfen
Suche mal Intervallschachtelung oder Heron-Newton-Verfahren im Netz - da wird das gut erklärt. Das sind nicht so einfache, langwierige Verfahren, um die Wurzel zu bestimmen.