Integrieren des totalen Differentials?
Hallo,
habe im Anhang eine Aufgabe hinterlegt, die zu lösen ist. Ich bin nicht vollkommen mit dem Thema vertraut, brauche es auch nur teilweise für die physikalische Chemie. Dennoch glaube ich zu wissen, dass man durch das Integrieren des totalen Differentials auf die Ausgangsgleichung einer Funktion mit 2 Veränderlichen kommt, also f(x,y) = z . Das totale Differential ist ja quasi die Summe aus der partiellen Ableitung nach x und der partiellen Ableitung nach y, was dann "dz" ergibt.
Zur Aufgabe habe ich also integriert , sodass ich die "Ausgangsgleichung" z=f(x,y)= y²*x + x²y + x²y + xy² erhielt. Nun ist aber nach Δz gefragt, was an sich ja "dz" für das totale Differential wiederspiegelt. Somit müsste ich die Grenzen theoretisch in die Gleichung einsetzen, die in der Aufgabenstellung steht. Aber von der logischen Reihenfolge der Aufgabe würde das nicht viel Sinn machen, deswegen habe ich die Grenzen in die errechnete z=f(x,y) eingesetzt --> z = 1540.
Kann jemand folgen bzw. ist das kompletter Käse, was ich hier von mir gebe?
Danke im Voraus!
2 Antworten
deltaZ = Integral von 1 bis 2 (y²+2xy)dx + Integral von 10 bis 20 von (x²+2xy)dy
Das DeltaZ ist deswegen weil du ja die linke Seite auch über Grenzen Integrieren musst.
Linke Seite:
Integral von z1 bis z2 dz = z2-z1 = deltaZ
http://www.matheboard.de/archive/483379/thread.html
Da siehts du wie du das Integral erhältst, das Integral ist jetzt die Stammfunktion und über den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung bekommst du deine Lösung.
Die Antwort bei mir ist ebenfalls fehlerhaft darum:
Bilden wir mal die Stammfunktion der rechten seite:
F(x,y) = y²x+x²y + x²y + xy² = 2(y²x+x²y)
Dann machen wir:
F(2,20) - F(1,10) = deltaZ = 1540
Ah ok, danke! Dann wäre die Aufgabe erledigt, oder will man mit Δz noch etwas anderes wissen? Denn eigentlich ist Δ ungleich "d" . (?)
Ja deltaz ist nicht gleich dz, das hab ich auch oben schon geschrieben.
deltaZ bedeutet eine Differenz von zwei z Werten.
Wenn du die rechte Seite der Gleichung mit Grenzen integrierst (bestimmtes Integral) musst du auch die liinke Seite der Gleichung mit Grenzen Integrieren (ebenfalls ein bestimmtes Integral).
Die Stammfunktion der linken Seite ist ja F(z) = z + C
Wenn wir da jetzt zwei beliebige Integrationsgrenzen nehmen z1 und z2 wobei wir nur fordern z2 > z1, ist die Lösung der linken Seite der Gleichung
z2-z1
wir kennen die Grenzen nicht aber wir wissen z2-z1 = 1540 (Integral der rechten Seite).
Damit man jetzt nicht immer z2-z1 schreiben muss und man z1 bzw z2 sowieso nicht bestimmen kann, sondern eben nur deren Differenz schreibt man deltaz =>
deltaz = 1540
Wenn du auf der Rechten Seite unbestimmt Integrierst würde da eben nur z + C rauskommen, wie bei Gleichungen eben üblich musst du die selbe Opteration auf beide Seiten anwenden. Wenn du also rechts bestimmt Integrierst kannst du links nicht unbestimmt Integrieren....
Formel "Totales (vollständiges) Differential
dz= (dz)/(dx) * dx + (dz)/(dy) * dy
(dz)/(dx) partizielle Ableitung der Funktion f(z) nach x ,hier wird y als Konstante behandelt
Das Selbe mit (dz)/(dy) hier ist bleibt x konstant
Also ist F(z) = Int. f(x) + Int. f(y)
Integrationsgrenzen xu=1 und xo=2 für die Funktion f(x)
Integrationsgrenzen yu=10 und xo=20 für die Funktion f(y)
HINWEIS : Die Integration ist ja nur die "Umkehrung" der "Differentation"
Frage zum Einsetzen der Grenzen:
Nach Integration ergeben sich ja folgende Terme:
F(z) = [y²x + x²y] + [x²y + xy²]
Wenn ich jetzt jeweils für f(x) und f(y) die Grenzen einsetze, so wie du meintest, dann erhalte ich doch Konstanten, z.B. für den linken Term f(x) : (2y²+4y) - (y²+y) -> y² + 3y . Da bekomme ich doch nie eine reelle Zahl heraus? Habe für mein Ergebniss beide Integrationsgrenzen eingesetzt , quasi für den linken Term sowohl 1 bis 2 für x , als auch 10 bis 20 für y. (gleiche für rechten Term)
Diese Frage kann ich leider nicht beantworten,weil ich mit solchen Aufgaben nichts zu tun habe.
Aber bei der Integration in den Grenzen xu (untere Grenze) und xo (obere Grenze) gilt ja
A= obere Grenze - untere Grenze
ich vermute,dass wird bei dieser Aufgabe auch so sein.
ergibt Z= ((y^2 *x + x^2 *y) + C1) + ((x^2*y +x *y^2) + C2)
Die Konstanten C1 u. C2 fallen ja weg
Sorry, verstehe gerade nicht, was damit gemeint ist. Bin noch nichteinmal sicher, ob ich weiß, was hier gefragt ist. Ich nahm an, man solle dieses gegebene totale Diff. in den gegebenen Grenzen integrieren, sodass man eine Zahl erhält, eben diese 1540. Dafür habe ich aber zb in den Term (y²+2xy)dx sowohl die Grenzen von 1 bis 2 (für x) , als auch die Grenzen für 10 bis 20 (für y) eingesetzt. Das gleiche für (x²+2xy)dy . Scheint aber falsch zu sein. (?)