Integral Fläche ausrechnen
Hey,zuerst möchte ich die Aufgabenstellung beschreiben. Danach erzähl ich meinen Rechenweg. Vll findet sich da schon der Fehler. Aufgabe: Eine relativ große Arbeit eines Kunstschmiedes aus Metall soll nach Wunsch des Kunden vergoldet werden. Hierzu sollen alle dunkel unterlegten Teile der Schmuckform mit Blattgold ausgelegt werden. Im günstigsten Angebot kostet Blattgold einschließlich der Belegungsarbeit auf der ebenen Form 7,99 €/ cm2 Das Bild ist hier: http://s7.directupload.net/file/d/3230/w6a2uryh_jpg.htmIch hab das Koordinatensystem ganz nach links gelegt, sodass der Punkt ganz links der Ursprung ist. Dann hab ich die beiden Nullpunkte und den Punkt für das Extremum in die Normalform f(x)=ax2+bx+x eingesetzt und mit dem Gauß ausgerechnet. Für die zweite Parabel habe ich das genauso gemacht. Dann habe ich das Integral der inneren Parabel von dem Integral der Äußeren abegezogen. Habe die Fläche verdoppelt. Anschließend mit 100 multipliziert um vom dm2 auf cm2 zukommen. Nun habe ich die Fläche des inneren Kreises von der Fläche des Äußeren abgezogen. Dann auch mit 100 multipliziert. Dann habe ich beide Flächenangaben addiert und mit 7,99 € multipliziert. Dabei komme ich dann auf Preise die man auch für einen Porsche bezahlt, so um die 70000€. Klassenkameraden kommen aber auf 7420,31 €. Irgendwas geht doch da schief.Wär schön wenn mir jemand helfen könnte.
2 Antworten
Nun, du hast auf Deinem Schaubild das Koordinatensystem passend mit seinem Ursprung ins Zentrum des Auges gelegt.
Jetzt kannst Du entweder die oberen beiden Parabeln zur Lösung ins Betracht ziehen - oder aber die unteren - das macht für das Ergebnis keinen Unterschied - ich nutze die unteren.
Die äußere untere Parabal hat die Funktionsgleichung f(x) = 1/6 x^2 - 1,5
Die innere untere Parabel hat die Funktionsgleichung g(x) = 4/25 x^2 - 1
Die Stammfunktionen sind :
F(x) = 1/18 x^3 - 1,5x
G(x) = 4/75 x^3 - x
Ich berechne nur das Integral mit den Intervallgrenzen 0 und 3 für f(x) bzw. mit den Intervallgrenzen 0 und 2,5 für g(x) - sozusagen die Flächen im "unteren rechten Quadranten". Die berechnete Fläche wird dann mit 4 multipliziert.
F(0) = 0
F(3) = 1/18 * 3^3 - 1,5 * 3 = -3
G(0) = 0
G(2,5) = 4/75 * (5/2)^3 - 5/2 = -5/3
Fläche außen = | F(3) - F(0) | = 3
Fläche innen = | G(2,5) - G(0) | = 5/3
Fläche außen - Fläche innen = 3 - 5/3 = 4/3 (in dm^2)
Dieses * 4 : 16/3 (in dm^2)
Fläche Außenkreis = PI * 1^2 = PI
Fläche Innenkreis = PI * (0,5)^2 = 1/4 PI
Fläche Außenkreis - Fläche Innenkreis = PI - 1/4 PI = 3/4 PI (in dm^2)
Gesamtfläche = 16/3 + 3/4 PI = 7,689527823525678262180315870793 dm^2
= 768,9527823525678262180315870793 cm^2
Dieses * 7,99 (€) = 768,9527823525678262180315870793 * 7,99 = 6143,93 €
Dies ist die Lösung, die ist berechnet habe - was allerdings etwas von 7420,31 € abweicht.
Das Ergebnis habe ich auch bekommen. Hoffentlich stimmt das dann auch :)
Das ist richtig, was wir da ausgewählt haben. Danke an alle!!
A. Soeben ist (mal wieder) meine ganze Rechnung verschwunden... Grrr ... Macht aber nichts, denn sowohl nach Verfahrensweise als auch nach exakten Ergebnis (ich habe die Zahl eben geschrieben und deswegen noch im Kopf) entspricht sie der von magicthf angegebenen.
B. Ich liefere noch ein paar Begründungen dazu: Die Parabeln sind bei dieser Wahl des Koordinatensystems gerade Funktionen und haben von vorneherein die Form
y = ax² -c (oder y = c - ax², wenn du wie ich die oberen beiden Parabeln verwendest)
c>0 kann aus der Zeichnung abgelesen werden;
a bekommst du einfach, indem du eine Nullstelle (also (3; 0) für die eine, (2,5; 0) für die andere Parabel ) einsetzt.
Das ist viel einfacher als Gauß-Algorithmus... ein Hinweis auf diese Überlegung kann den angegebenen Ersatzfunktionen entnommen werden.
Siehe Text:
"Die Parabeln sind bei dieser Wahl des Koordinatensystems gerade Funktionen und haben von vorneherein die Form (...)"
Eine Funktion ist gerade, wenn sie zur y-Achse symmetrisch ist, also f(x) = f(-x).
Ist eine symmetrsiche Funktion ganzrational, so kann sie dann nur Potenzen von x mit geraden Exponenten haben (Näheres z.B. unter http://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_Funktion, suche "Polynomfunktion").
Danke! Eine Frage hätte ich aber noch. Wieso ist denn b=0??