HILFE! Wie berechnet man Extremalwertprobleme?
Hallo! Ich schreibe morgen eine Matheklausur...Extrema kann ich berechnen, aber ich habe vergessen sie man Extremalwerte berechnet...Also ich meine zB die Aufgaben wo man einen Wasserspeicher (Zylinder) hat der das Volumen von 1000l hat ohne Deckel. Dieser soll dann die kleinst möglichen Maße haben...Wie muss ich an diese Aufgabe herangehen? Ich weiß, dass ich die Formeln der Mantelfläche, des Volumens und der Oberfläche benötige...ich kenne diese Formeln nicht und habe generell Probleme mit diesem Formeln dann zu arbeiten...Ich brauche dringend Hilfe...Wie berechnet man sowas??? Danke schonmal, ihr seid meine letzte Hoffnung... :((( ♡
2 Antworten
Hauptbedingung und Nebenbedingung aufstellen (HB immer die Formel und NB immer das mit den Zahlen)
Nebenbedingung nach einer Variable auflösen und dann in die HB einsetzen und schon hast du die Funktion, die du ableiten kannst etcetc
Bei der Nebenbedingung musst du halt schauen was im Text steht.(Alle Zahlen benutzen die du dort findest: Achtung:Manchmal muss man 2 Nebenbedingungen aufstellen, aber nur sehr selten und nur bei sehr schweren Aufgaben).
Du setzt NICHT die Nebenbedingung gleich Hauptbedingung. Du stellst nach einer Variable um und setzt die dann gleich!!
HB: a+b = c
NB: 100= 6a+6b -> Nach b oder a umstellen und diese dann gleichsetzen.
wenn du das dann nach a oder b umgestellt hast, hast du dann eine Funktion F(a) oder F(b) und bildest die erste Ableitung, setzt F(a), F(b) gleich 0 und berechnest die Hochpunkte und Tiefpunkte
Das Material setzt sich zusammen aus dem Boden des zylinderförmigen offenen Fasses und seinem Mantel.
Grundfläche eines Zylinders: G = pi r²
Mantelfläche eines Zylinders: M = 2 pi r h
Dann ist die Extremalbedingung:
Minimiere E(r,h) = pi r² + 2 pi r h.
Die Nebenbedingung ist durch das vorgegebene Volumen bestimmt:
V(r,h) = pi r² h = 1000 dm³, also ist die Nebenbedingung
pi r² h = 1000.
Wir stellen die Nebenbedingung nach h um:
h = 1000 / (pi r²)
und setzen in dies in die Extremalbedingung ein, womit wir dann die Zielfunktion erhalten
E(r) = pi r² + 2 pi r * 1000 / (pi r²)
Das pi im hinteren Summanden kürzt sich weg.
E(r) = pi r² + 2000 r / r²
Jetzt kann man noch ein r im hinteren Summanden kürzen
E(r) = pi r² + 2000 / r
Zum bestimmen der optimalen Lösung, leiten wir die Zielfunktion zweimal ab:
E '(r) = 2 pi r - 2000 / r²,
E ''(r) = 2 pi + 4000 / r³.
Stelle nun E '(r) auf Null:
E '(r) = 0
0 = 2 pi r - 2000 / r² | * r²
0 = 2 pi r³ - 2000 | + 2000
2000 = 2 pi r³ | : (2 pi)
1000 / pi = r³ | dritte Wurzel
r = dritte Wurzel ( 1000 / pi ) und das ist ungefähr 6,83 dm
Dann ist die Höhe
h = 1000 / (pi (dritte Wurzel ( 1000 / pi ))²) und das ist ca. 6,83 dm.
Sowohl der Radius als auch die Höhe müssen ungefähr 6,83 dm sein.
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Schon seltsam, dass eine solche Aufgabe im Lehrbuch orange markiert ist, denn man ist hier doch auf einen Taschenrechner angewiesen.
wie bildet man denn die NB? und wenn ich die nebenbedinung in die hauptbedingung eingesetzt habe, muss ich davon dann einfach die ableitungen machen und den hochpunkt davon berechnen?