Hat jemand einen Tipp für den Beweis?
2 Antworten
Nimm an, dass zwei Vektoren v und w in der angegebenen Menge liegen, und schließe mithilfe der Eigenschaften der Mengen dass die Summe auch darin liegt.
nimm beim ersten zum Beispiel an, dass v und w im Schnitt liegen. Folgere dann, dass v+w sowohl in W1 als auch W2 liegen müssen und folgere daraus, dass es somit auch im Schnitt liegt.
Analog zeigst du dann auch dass k*v in der Menge liegt, für alle k aus K und v aus der Menge.
Und dass die Mengen nicht leer sind kannst du auch ganz einfach erschließen.
Danke, also kann ich direkt so argumentieren, geht schneller danke!
Bezüglich, dass ich zeigen will, dass wenn v und w Element von W1 z. B. sind, dass auch v+w in W1 liegen muss.
Das ist doch die Definition einer abelschen Gruppe oder? Kann ich da nicht einfach direkt sagen, dass wenn v und w € W1 sind udn W1 ein Untervektor ist, dass bezüglich + es eine abelsche Gruppe sein muss und daher folgt, dass v+w auch in W1 bzw. W2 ist?
Bezüglich, dass ich zeigen will, dass wenn v und w Element von W1 z. B. sind, dass auch v+w in W1 liegen muss.
Ich habe nicht gesagt dass du das zeigen sollst, sondern:
nimm beim ersten zum Beispiel an, dass v und w im Schnitt liegen. Folgere dann, dass v+w sowohl in W1 als auch W2 liegen müssen und folgere daraus, dass es somit auch im Schnitt liegt.
Aber was muss ich dann dahin schreiben?
Ich mein reicht es zu sagen v,w € (W1 Schnitt W2) --> v,w € W1 & v,w € W2 --> v+w € W1 & v+w € W2 --> v+w € (W1 Schnitt W2), also reicht das so aus?
Danke, also für W1 Schnitt W2 zeige ich :
v,w € (W1 Schnitt W2) --> v,w € W1 & v,w € W2 --> v+w € W1 & v+w € W2 --> v+w € (W1 Schnitt W2)
und danach muss ich noch zeigen dass für x € K gilt ,
wenn (x*t) € (W1 Schnitt W2)
x*t € (W1 Schnitt W2) --> x*t € W1, W2 --> x*t € (W1 Schnitt W2), reicht das?
So habe ich dass dann komplett für Schnitt gezeigt oder?
Okay, aber anders kann ich ja sagen, v€ W1,W2.
Dann sage ich einfach x € K, es muss gelten:
x*v € W1,W2 ( das gilt ja laut Definition von Vektorräumen) --> x*v € (W1 Schnitt W2) ?
Stimmt das erste überhaupt? Es gibt ja im R³ drei verschiedene R²-Unterräume. Nämlich die xy-Ebene, die xz-Ebene und die yz-Ebene. Wenn man die schneidet, dann ist man aus den Räumen raus. Aber stimmt, man ist dann wieder im R³, welcher auch ein Unterraum vom R³ ist. Da es allgemein um K-Vektorräume geht, muss man eh mit den Definitionen der Unterräume arbeiten. K kann jeder Körper sein und die Anzahl an Dimensionen kann beliebig sein.
Stimmt das erste überhaupt?
Ja
Nämlich die xy-Ebene, die xz-Ebene und die yz-Ebene. Wenn man die schneidet, dann ist man aus den Räumen raus.
Nein, der Schnitt der drei Mengen ist Der Ursprung. Und das ist ein Untervektorraum.
Ich war gedanklich bei der Vereinigung. Immer der gleiche Fehler...
Danke, darf ich bezüglich, dass die Mengen nicht leer sind so begründen, W1 und W2 müssen bezüglich + albesche Gruppen sein, da ja so Vektorräume definiert sind.
Da sie abelsche Gruppen sind, heißt es unter anderem, dass die das neutrale Element haben müssen.
Das neutrale Element ist für W1 und W2 gleich, das heißt dieses Element besitzen beide und so kann ich zeigen, dass zumindest bei einer Vereinigung dieses Element da ist und daher nicht leer sein kann?