Hat jemand einen Ansatz für diese Aufgabe?
2 Antworten
Für die lineare Unabhängigkeit nimmst du einfach reelle Lambdas, die eine Linearkombination der 0 ergeben. Dann nutzt du nach geschickter Umformung die lineare Unabhängigkeit der a_i in V als C-Vektorraum.
Dass die Vektoren erzeugend sind, kannst du ebenso direkt überprüfen. Nimm ein beliebiges a und nutze, dass a_i erzeugend im C-Vektorraum sind. Daraus kannst du eine neue Linearkombination von a aus reellen Skalaren konstruieren.
Nimm einfach c_j (ich nenne die Lambdas mal c) und nimm an, dass
c_1*a_1+c_2*z*a_1+...+c_2n*z*a_n=0
Dann ist ja z=x+iy und wir können schreiben c_j*z=c_j*x+i*c_j*y. Damit kannst du obige Summe umschreiben in die Form:
d_1*a_1+...+d_n*a_n=0,
wobei die d_j eine komplexe Zahl ist. Nun folgt aus lin. Unab. der a_j, dass alle d_j=0. Wenn du die genaue Darstellung dieser kennst, kannst du daraus folgern c_j=0. Hier ist wichtig, dass y ungleich 0 gilt.
Hmm, schwierig. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl deren Imaginärteil <> 0 ist bewirkt ja eine Drehung der jeweiligen Komponente von a_i. Es ist daher "ziemlich wahrscheinlich" dass sich das neue a_i nicht durch Linearkombinationen der "alten" a_i erzeugen lässt. Das musst du nun in eine saubere mathematische Formulierung bekommen. Komplexe Zahlen und das explizite Rechnen mit ihnen ist leider eine meiner großen Schwächen.
Kannst du das genauer erklären, komme nicht wirklich weiter