Grenzwert bestimmen?

Moin, wie bestimme ich folgenden Grenzwert?

$\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+n\right)^n-2\left(n+2\right)^{n-1}}{n^{n+1}+3n!}$

Komme da mit meinem Wissen irgentwie nicht weiter.

Answer 1

[mihisu]

====== 1. Schritt: Grobe Abschätzung, um eine Idee zu erhalten ======

Erst einmal würde ich das Konvergenzverhalten ganz grob abschätzen...

Beim Zähler hat man vorne quasi ein Verhalten ähnlich zu n^n, was dem Verhalten hinten (quasi ähnlich zu n^(n-1)) überwiegt.

Beim Nenner hat man vorne quasi ein Verhalten ähnlich zu n^(n+1), was dem Verhalten hinten (quasi ähnlich zu n!, was schwächer ist als n^n bzw. n^(n+1)) überwiegt.

Insgesamt hat man also quasi eine Verhalten ähnlich zu n^n/n^(n+1), also quasi ähnlich zu 1/n, was gegen 0 konvergiert.

Ich vermute daher, dass der Grenzwert gleich 0 ist und möchte das natürlich noch ordentlich zeigen bzw. berechnen.

====== 2. Schritt: Idee======

Ähnlich zu meiner groben Abschätzung würde vorschlagen, im Zähler n^n auszuklammern und im Nenner n^(n+1) auszuklammern.

Dann kann man vor dem Bruch n^n/n^(n+1) zu 1/n kürzen. Der Bruch selbst sollte gegen einen endlichen Wert konvergieren. Dann hat man im Grenzwert 0 * (endlicher Wert) = 0.

====== 3. Schritt: Konkrete Ausformulierung der Rechnung ======

Ich versuche die Rechnung relativ kleinschrittig aufzuschreiben, damit sie für dich möglichst nachvollziehbar wird.

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(1+n\right)^{n}-2\cdot \left(n+2\right)^{n-1}}{n^{n+1}+3\cdot n!}$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(n\cdot \left(\frac{1}{n}+1\right)\right)^{n}-2\cdot \left(n\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)\right)^{n-1}}{n^{n+1}+3\cdot n!}$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n\cdot \left(\frac{1}{n}+1\right)^{n}-2\cdot n^{n-1}\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n-1}}{n^{n+1}+3\cdot n!}$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n\cdot \left(\frac{1}{n}+1\right)^{n}-2\cdot n^{n}\cdot n^{-1}\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n-1}}{n^{n+1}\cdot 1+3\cdot \frac{n!}{n^{n+1}}\cdot n^{n+1}}$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n\cdot \left(\left(\frac{1}{n}+1\right)^{n}-2\cdot n^{-1}\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n-1}\right)}{n^{n+1}\cdot \left(1+3\cdot \frac{n!}{n^{n+1}}\right)}$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^n}{n^{n+1}}\cdot\frac{\left(\frac{1}{n}+1\right)^{n}-2\cdot n^{-1}\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)^{n-1}}{1+3\cdot \frac{n!}{n^{n+1}}}\right)$

Während ich nun vorne n^n/n^(n+1) zu 1/n kürze, fange ich hinten an, so umzuformen, dass man Terme der Form (1 + x/n)^n erhält, die gegen exp(x) konvergieren; bzw. dass man n!/n^n erkennt, was gegen 0 konvergiert.

$\left[\ldots\right]=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^n\cdot 1}{n^{n}\cdot n}\cdot\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-2\cdot n^{-1}\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)^{-1} \cdot\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}}{1+3\cdot \frac{n!\cdot 1}{n^{n}\cdot n}}\right)$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-2\cdot \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{2}{n}} \cdot\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}}{1+3\cdot \frac{n!}{n^{n}}\cdot \frac{1}{n}}\right)$

1/n konvergiert gegen 0.

(1+1/n)^n konvergiert gegen exp(1).

Bei 1/(1+2/n) konvergiert 2/n gegen 0, sodass 1/(1+2/n) gegen 1/(1+0) = 1 konvergiert.

(1+2/n)^n konvergiert gegen exp(2).

n!/n^n konvergiert gegen 0.

Man erhält dann, also...

$\left[\ldots\right]=0\cdot\frac{e^1-\overbrace{2\cdot 0\cdot\frac{1}{1+0} \cdot e^{2}}^{=0}}{1+\underbrace{3\cdot 0\cdot 0}_{=0}}=0\cdot \frac{e^{1}}{1}=0$

Comments

[Failita]

Super hilfreich, vielen Dank!