Gleichungen Mathematik?
Hallo liebe Community,
Ich schreibe am Donnerstag den Mathewettebewerb in Hessen. Ich beherrsche alle Themen relativ gut außer eins: Die Gleichungen. Bei diesem Thema verstehe ich einiges nicht ich habe mir vieke Videos angeschaut doch es hat nichts gebracht. Bei der Aufgabe im Anhang als Beispiel: Wie kommt man da auf die 4? Wie funktioniert das mit den ganzen Zahlen vertauschen usw. Es wäre sehr hilfreich wenn es mir jemand zusammenfassen und erklären könnte da ich echte Schwierigkeiten habe es zu verstehen. Außerdem gibt es bei dem Mathewettbewerb des Landes Hessen was zu beachten? Und wenn ja dann was genau?
Danke im Voraus
3 Antworten
Hallo.
Gleichungen heißen so, weil beide Seiten vom "=" gleich groß sind.
Angenommen ich frage
Ich habe 2 Euro, brauche aber 5 Euro. Wie viele Euro fehlen mir noch?
Da musst du nicht lange überlegen und weißt die Antwort. Aber wie drückt man das mathematisch aus?
2 + x = 5
Also 2 € + x € ergeben 5 €. Ziel dieser Gleichung ist es, sie nach x aufzulösen.
Und wie macht man das? Naja, wir müssen die 2 loswerden offensichtlich. Aber wie Eingangs erwähnt heißt eine Gleichung so, weil beide Seiten gleich sind. Wenn ich die eine Seite also verändere, dann muss ich das logisch auch auf der anderen Seite machen, damit beide Seiten gleich bleiben.
Und wie bekommen wir die 2 weg? Da 2 + x da stehen, ziehen wir einfach 2 ab. Natürlich von beiden Seiten:
2 + x = 5 | - 2
Dazu schreiben wir daneben einen senkrechten Strich und schreiben dahinter die Veränderung die wir an der Gleichung vornehmen. Danach sähe da so aus:
-2 + 2 + x = 5 - 2
Hierbei kann man nun zusammenfassen. -2 und + 2 gleichen sich zu 0 aus. Und da + 0 nichts verändert, bleibt einfach das x stehen. Rechts wird aus 5 - 2 = 3:
x = 3
Wir haben die Gleichung nach x aufgelöst und wissen, dass wir 3 € für das x einsetzen müssen, damit aus 2 + x = 5 wird.
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Was deine Beispiele angeht, so wird es dort genauso gehandhabt.
2(2x - 2) = x + 8
Zunächst einmal lösen wir die Klammer auf. Dazu multiplizieren wir den Klammerinhalt mit 2:
4x - 4 = x + 8
Jetzt wollen wir wie in meinem Beispiel am Ende x auf der einen Seite stehen haben und auf der anderen Seite welche Zahl man für x einsetzen muss. Also sorgen wir erstmal dafür, dass auf der linken Seite die - 4 verschwindet. Was müssen wir tun, damit sich die - 4 zu 0 ausgleicht? Genau, wir addieren + 4:
4x - 4 = x + 8 | + 4
4x = x + 12
Die -4 wurde also zur 0 und auf der anderen Seite haben wir natürlich auch 4 hinzuaddiert, aus der 8 wurde also 12. Der nächste Schritt? Wir wollen das x auf der rechten Seite loswerden. Also sagen wir? - x ! Denn x - x ergibt 0.
4x = x + 12 | - x
3x = 12
Fast geschafft. 3x steht für 3 mal die Zahl, die in x steht. Was müssen wir also tun, damit die 3 verschwindet? Wir teilen durch 3. Denn dann
kürzt sich die 3 weg und es bleibt einfach nur 1 * x (also schlicht x) stehen.
3x = 12 | : 3
x = 4
Und siehe da, wir haben die Gleichung nach x aufgelöst.
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Du kannst aber auch direkt kontrollieren, ob du richtig gerechnet hast, indem du dann das x durch die Zahl ersetzt, die du berechnet hast. In deinem Fall also:
2(2x - 2) = x + 8 | x = 4
2(2*4 - 2) = 4 + 8
2(8 - 2) = 4 + 8
2(6) = 4 + 8
12 = 12
Da beide Seiten identisch sind, wenn wir für x = 4 einsetzen, haben wir richtig gerechnet. Ich hoffe, das war ausreichend gut erklärt. Zumindest so weit, dass du es ansatzweise verstehst und bei anderen Übungsaufgaben anwenden kannst.
Du musst dir Gleichungen wie ein Rätsel vorstellen. 3+wieviel ist 5? Du weißt sofort: die 2. Aber woher weißt du das? Weil du es irgendwann auswendig gelernt hast. Aber du kannst es auch rechnerisch herausfinden:
3+x=5
du willst wissen, was x ist. Also muss x alleine stehen. Also muss die 3 weg. Daher -3
Du musst das aber auf beiden Seiten machen, weil eine Gleichung wie eine Waage ist. Das = ist die Mitte der Waage. Was du auf der einen Seite wegnimmst, muss auch auf der anderen weg. Also auf beiden Seiten drei weg
3-3+x=5-3
3-3 ist 0, das musst du nicht mehr hinschreiben. 5-3=2
x=2
Klarer?
Weil 12 : 3 4 ist