Gilt für einen körper, dass er mindestens 3 Elemente hat (Uni Mathe)?
Hallo, ich verzweifle grade ein wenig an einer Aufgabe die ich für die Uni habe, und zwar folgende:
Für jeden Körper (G,+,x) gilt, dass G mindestens 3 Elemente besitzt.
Das x ist ein mal Zeichen. Ich verstehe gar nicht wieso G der Körper ist weil es für mich mehr nach einem Element aussieht. Und wieso sind x und + Element? Und wieso muss der Körper mindestens drei haben? Danke schon mal :)
4 Antworten
Mit "Element" sind sowas wie Zahlen gemeint, also Elemente der Menge G. Das "x" und "+" sind also nicht als Element gemeint.
Für einen Körper gelten die Körperaxiome. Ein Körper ist eine Menge von Elementen (hier wird das G genannt), auf die man zwei Funktionen definieren kann, bei der eine wie die Addition funktioniert "+", und die andere wie eine Multiplikation "x". Man spricht auch von abelschen Gruppen.
Weil + möglich sein muss, muss es auch eine 0 geben als neutrales Element bei der Addition.
Weil x möglich sein muss, muss es auch eine 1 geben als neutrales Element bei der Mulitplikation.
Damit gibt es also mindestens 2 Elemente für jede Gruppe: die 0 und die 1.
Warum es aber 3 Elemente geben muss, ist mir nicht klar. Eigentlich wäre 0 und 1 schon ausreichend?
https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29#Endliche_K.C3.B6rper
Unterkörper F2 ?
Ich habe in meiner Frage wohl vergessen zu erwähnen dass die Aussage auch falsch sein kann, aber die Antwort war sehr hilfreich :)
Das ist eine Frage, und du sollst als Übungsaufgabe entscheiden, ob jeder Körper, bestehend aus der Menge G, einer Addition + und einer Multiplikation x mindestens 3 Elemente haben muss, oder ob es auch Körper mit weniger als drei Elementen geben kann.
Und im Übrigen ist die Antwort nein. Der Restklassenring Z/2Z ist ein Körper mit den Elementen 0 und 1.
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1 und 1 + 1 = 0.
Das Distributivgesetz ist ohnehin klar.
ehm, da es den körper F2 gibt, ist die Antwort nein.
es geht auch mit den 2 Elementen 0 und 1.
d.h. G={0,1}
Addition und Multiplikation sind dann eben so definiert dass Alles brav im Körper bleibt und nebenbei 1+1=0 gilt.
Guck dir mal den Körper Z/2Z an.
Um die Argumentation dafür, dass es mindestens 2 Elemente geben muss, fehlt hier noch die Begründung (aus den Axiomen) dafür, dass 0 (Neutralelement der Addition) und 1 (Neutralelement der Multiplikation) nicht ein und dasselbe Element sein können.