Frage von ColaPina, 113

Gilt für einen körper, dass er mindestens 3 Elemente hat (Uni Mathe)?

Hallo, ich verzweifle grade ein wenig an einer Aufgabe die ich für die Uni habe, und zwar folgende:

Für jeden Körper (G,+,x) gilt, dass G mindestens 3 Elemente besitzt.

Das x ist ein mal Zeichen. Ich verstehe gar nicht wieso G der Körper ist weil es für mich mehr nach einem Element aussieht. Und wieso sind x und + Element? Und wieso muss der Körper mindestens drei haben? Danke schon mal :)

Antwort
von Maimaier, 88

Mit "Element" sind sowas wie Zahlen gemeint, also Elemente der Menge G. Das "x" und "+" sind also nicht als Element gemeint.

Für einen Körper gelten die Körperaxiome. Ein Körper ist eine Menge von Elementen (hier wird das G genannt), auf die man zwei Funktionen definieren kann, bei der eine wie die Addition funktioniert "+", und die andere wie eine Multiplikation "x". Man spricht auch von abelschen Gruppen.

Weil + möglich sein muss, muss es auch eine 0 geben als neutrales Element bei der Addition.

Weil x möglich sein muss, muss es auch eine 1 geben als neutrales Element bei der Mulitplikation.

Damit gibt es also mindestens 2 Elemente für jede Gruppe: die 0 und die 1.

Warum es aber 3 Elemente geben muss, ist mir nicht klar. Eigentlich wäre 0 und 1 schon ausreichend?

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper\_%28Algebra%29#Endliche\_K.C3.B6rper

Unterkörper F2 ?

Kommentar von ColaPina ,

Ich habe in meiner Frage wohl vergessen zu erwähnen dass die Aussage auch falsch sein kann, aber die Antwort war sehr hilfreich :)

Kommentar von rumar ,

Um die Argumentation dafür, dass es mindestens 2 Elemente geben muss, fehlt hier noch die Begründung (aus den Axiomen) dafür, dass 0 (Neutralelement der Addition) und 1 (Neutralelement der Multiplikation) nicht ein und dasselbe Element sein können.

Kommentar von rumar ,

sorry, es hätte heißen sollen:       "Zur Argumentation dafür, ....."

Antwort
von lks72, 79

Das ist eine Frage, und du sollst als Übungsaufgabe entscheiden, ob jeder Körper, bestehend aus der Menge G, einer Addition + und einer Multiplikation x mindestens 3 Elemente haben muss, oder ob es auch Körper mit weniger als drei Elementen geben kann.

Kommentar von ColaPina ,

Also sind die Addition und die Multiplikation Elemente?

Kommentar von lks72 ,

Und im Übrigen ist die Antwort nein. Der Restklassenring Z/2Z ist ein Körper mit den Elementen 0 und 1.

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1 und 1 + 1 = 0.

Das Distributivgesetz ist ohnehin klar.

Kommentar von lks72 ,

Nein, Addition und Multiplikation sind die beiden Verknüpfungen im Körper, die Elemente sind in G enthalten.

Antwort
von Hallo99559, 48

Guck dir mal den Körper Z/2Z an.

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