Funktionsscharen?

Hallo ich bin gerade bei Aufgabe 17 und a) und denn Anfang von b) also den Hochpunkt konnte ich ohne Probleme lösen. Jedoch verstehe ich den zweiten Teil von b) nicht so ganz.

Answer 1

[evtldocha]

Der zweite Teil von b) heißt auf Deutsch einfach: Wann ist der y-Wert des Hochpunktes größer als 4,5.

Da die Hochpunkte nach dem ersten Teil von b)

$H_a\left(\frac{3}{4}a^2\ |\ \frac{9}{16}a^3\right)$

sind, ist deren y-Wert $y_a=\frac{9}{16}a^3$

Und das soll größer als 4,5 sein. Daher ist die Ungleichung

$y_a>4,5\ \to\frac{9}{16}a^3>4,5\ \to a^3>\frac{4,5}{9}16\ \to a>\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$

Answer 2

[DieChemikerin]

Hi,

Für die Aufgabe b musst du zunächst die Ableitung von ga(x) bestimmen:

$g_a'\left(x\right)=-\frac{2}{a}x+\frac{3a}{2}.$

Für die Existenz eines Hochpunktes gilt die notwendige Bedingung ga'(x) = 0 und ga''(x) < 0:

$-\frac{2}{a}x+\frac{3a}{2}=0$ $-\frac{2}{a}x=-\frac{3a}{2}$ $x=\frac{3a^2}{4}$

Nun musst du den y-Wert berechnen, indem du den Wert in ga(x) einsetzt:

$g_a'\left(x_E\right)=-\frac{1}{a}\cdot\left(\frac{3a^2}{4}\right)^2+\frac{3a}{2}\cdot\left(\frac{3a^2}{4}\right)$ $=-\frac{9a^4}{16a}+\frac{9a^3}{8}$ $=-\frac{9a^3}{16}+\frac{18a^3}{16}$ $=\frac{9a^3}{16}$

Um nun zu bestimmen, für welche a der y-Wert des Hochpunktes über dem Wert 4,5 liegt, setzt du diesen eben erhaltenen Wert mit 4,5 gleich:

$\frac{9a^3}{16}=4,5$ $9a^3=72$ $a^3=8$ $a=2$

Das heißt: Für alle a > 2 liegt der y-Wert des Hochpunktes über y = 4,5.

Ich hoffe ich konnte helfen, bei Fragen melde dich.

LG

Woher ich das weiß: Hobby – seit der Schulzeit, ehemals Mathe LK