Für welches a hat fa keine lokalen extrem?
Hallo, ich bin mitterlweile echt etwas verzeifelt, alles hat problemlos geklappt, aber jetzt steh ich etwas auf dem schlauch. ICH MÖCHTE KEINE KOMPLETTLÖSUNG ODER JEMANDER,DER MIR DIE HAUSAUFGABEN MACHT, ICH MÖCHTE NUR EINEN LÖSUNGSANSATZ ODER TIPP! also es geht um folgende funktion:
fa(x)= 2ax³-4ax+2x
Die Frage ist nun: Für welches a (element der reelen zahlen) hat fa keine lokalen Extrema.
ich hab allerdings grad keine plan, wann eine funktion keine lokalen extrema hat, und bitte deshalb um einen tipp oder lösungsansatz.
Vielen Dank schomal im Vorraus!
3 Antworten
Vampirjäger hat die triviale Lösung bereits geliefert. für a=0 bleibt nur noch fa(x) = 2x, was eine Gerade mit positiver Steigung ist und kein lokales Extremum haben kann.
Für welche a ist fa'(x) also ungleich 0?
Wdh.: fa'(x) = 6ax^2-4a+2
Schauen wir zuerst, wann es 0 ist
6ax^2-4a+2 = 0 | :6a
x² - 2/3 + 1/(3a) = 0
x² = 2/3 - 1/(3a)
x = +-Wurzel(2/3 - 1/(3a))
Wann ist die Diskriminante < 0? a=0 muss nicht mehr betrachtet werden.
2/3 - 1/(3a) < 0
2/3 < 1/(3a)
2a < 1 für a > 0
a < 1/2
2a > 1 für a < 0
a > 1/2 Wiederspruch zu a < 0
Lösung a Element [0; 1/2)
Jetzt müsste noch nach Fällen gesucht werden, bei denen fa'(x) = 0 und fa''(x) = 0 usw. ist.
Müsste man nicht eine Fallunterscheidung machen für a<0 und a>0 wenn man den Schritt macht:
2/3 - 1/(3a) < 0
2/3 < 1/(3a)
Loklale Extrema findet man durch f´(x)=0. Zusätzlich muss noch f´´(x)<0 (Maximum) oder f´´(x)>0 (Minimum) sein.
In deinem Fall wäre fa´(x)=6ax^2-4a+2, was z.B. für a=0 keine Nullstellen hätte. Möglicherweise gibts noch weitere Fälle.
Hier nochmal dazu eine Skizze.
fa''(x) = 12ax
+-Wurzel(2/3 - 1/(3a)) einsetzen
12a Wurzel(2/3 - 1/(3a)) = 0 | mal Wurzel(2/3 - 1/(3a)) 12a (2/3 - 1/(3a)) = 0 8a - 4 = 0 8a = 4 a = 1/2
Für a = 1/2 müsste sich ein Sattelpunkt ergeben, da f vom Grad 3 ist.