Faltungsintegral Signale und Systeme?

Hallo ich habe eine Frage zum Faltungsintegral bei der Aufgabe c) :

Wieso wird für die Aufgabe c bei der Integration [ t-5 ; t ] als Grenzen genommen?

Genommen hätte ich [ t-5 ; 5 ].

Wenn die obere Grenze bei t liegt (laut Lösung) könnte sie theoretisch ja auch den möglichen Wert von 6 aufweisen. Betrachte ich aber die beiden Funktionen bei t = 6, müsste die Faltung aber dort 0 betragen.

Somit kann ich die Lösung nicht nach vollziehen.

Danke.

Answer 1

[YBCO123]

Soweit ich verstanden habe ist

• die Impulsantwort g(t)=0 für t>7
• die Eingangsfunktion x(t)=0 für t>5

Du kannst das Faltungsintegral auch schreiben:

$y\left(t\right)\ =\ \int_0^t\ g\left(\tau\right)\cdot x\left(t-\tau\right)\ d\tau$

Jetzt überleg mal: es muss hier sein

$t-\tau<5$

damit x hier nicht Null wird.

Umgeformt ist das

$\tau>t-5$

also

$y\left(t\right)\ =\ \int_{t-5}^t\ g\left(\tau\right)\cdot x\left(t-\tau\right)d\tau\ =\ \int_{t-5}^t\ 1\cdot3\cdot d\tau$

Mit der anderen Schreibweise des Faltungsintegrals hättest du statt die untere Grenze auf t-5 die obere Grenze auf 5 eingeschränkt, um dem x Rechnung zu tragen:

$y\left(t\right)\ =\ \int_0^tg\left(t-\tau\right)\cdot x\left(\tau\right)\ d\tau\ =\ \int_0^5g\left(t-\tau\right)\cdot x\left(\tau\right)\ d\tau\ =\ \int_0^51\cdot3\cdot d\tau\$

Beide Male ist das Ergebnis 15 ;-)

> Genommen hätte ich [ t-5 ; 5 ]

das ist leider falsch