Extremwertaufgaben?
Ich kenne mich bei dieser Aufgabe nicht aus und weiß nicht welche Bedingungen ich aufstellen soll. Kann mir bitte jemand helfen???????
Danke im vorauß!
1 Antwort
Zielfunktion
a) V = a² h
b) O = 2 a² + 4 a b
Nebenbedingung
8 a + 4 b = 72 [cm]
<=> b = 18 – 2 a
Rechnung
a) V = a² h
wobei h = b sin(x) > 0 und x∈(0, π/2]
V(a,b) = a² b sin(x)
V(a) = a² (18 – 2 a) sin(x)
V(a) = (–2 a² + 18 a) sin(x)
V'(a) = (–4 a + 18) sin(x)
V'(a) = 0 <=> a = 4.5
V"(a) = –4 sin(x) < 0
a = 4,5 [cm] Maximalstelle
b = 18 – 2 • 4.5 = 9 [cm]
Das quadratische Prisma hat mit einer Kantenlänge von 4.5 cm der Grundfläche und 9 cm der Mantelfläche ihr maximales Volumen.
b) O(a,b) = 2 a² + 4 a b
O(a) = 2 a² + 4 a (18 – 2 a)
O(a) = –6 a² + 72 a
O'(a) = –12 a + 72
O'(a) = 0 <=> a = 6
O"(a) = –12 < 0
a = 24 [cm] Maximalstelle
b = 18 – 2 • 6 = 6 [cm]
Das quadratische Prisma hat mit regelmäßigen Kantenlängen von 6 cm eine maximale Oberfläche.