Ebenengleichung aufstellen?

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten Fragen der Form: Zeigen Sie, dass sich ... in einer Ebene bewegt und geben Sie eine Ebenengleichung an.
Könnte jemand mir bei der Nummer 13 bitte helfen?
Würde mich über eine Schrittweise Erklärung enorm freuen.
Dankeschön.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

[LUKEars]

also... eine Koordinatengleichung einer Ebene sieht allgemein so aus: https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform

$a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3=d$

und du hast eine Menge von Punkten (ich habe mal a durch f ersetzt, weil a schon oben benutzt hab..):

$P_f(5\cdot f-1 | 2\cdot f | -3\cdot f^2+2\cdot f+\frac{8}{3})$

eine Ebene ist durch 3 Punkte gegeben... für f=0 erhalten wir:P0(-1|0|8/3) und für f=0,2 erhalten wir P0,2(0|0,4|2,28+2/3) und für f=1/3 erhalten wir P1/3(2/3|2/3|3)... damit könnten wir jetzt a,b,c und d bestimmen und erhalten dann eine Koordinatengleichung einer Ebene E, in der schonmal diese 3 Punkte liegen... mit dem Riesentassenrechner erhalten wir mit a=2 folgende Werte: b=-5 und c=0 und d=-2

jetzt ist also noch die Frage zu klären, ob alle Punkte Pf in dieser Ebene E liegen... dazu setzen wir mal in die Koordinatengleichung ein:

$2\cdot(5f-1)-5\cdot(2f)+0\cdot(\cdots)=-2$

jetzt vereinfachen:

$10f-2-10f+0=-2$ und noch mehr vereinfachen: -2=-2 und noch mehr: 0=0 yay!

verstanden?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Answer 2

[ProfFrink]

Eine andere Möglichkeit besteht darin mit dem b.-Teil der Aufgabe zu beginnen. Die Forderung

$-3a^2+2a+\frac{8}{3}=0$ führt zu den beiden Lösungen

$a_{01}=-\frac{2}{3}\ \ \ \ \ \ \ a_{02}=\frac{4}{3}$

womit die beiden Punkte A und B der Zeichnung fixiert sind.

$A\left(-\frac{13}{3}\ \left|\ -\frac{4}{3}\right|\ 0\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B\left(\frac{17}{3}\ \left|\ \frac{8}{3}\right|\ 0\right)$

Nun werden zwei Differenzvektoren gebildet, die hernach für ein Vektorprodukt herangezogen werden.

$\vec{d_1}=\vec{P_a}-\vec{A}$ $\vec{d_2}=\vec{B}\ -\vec{A}$

$\vec{d_1}=\left(5a+\frac{10}{3}\ \left|\ 2a+\frac{4}{3}\right|\ -3a^2+2a+\frac{8}{3}\right)$

$\vec{d_2}=\left(10\ \right|\ 4\ \left|\ 0\ \right|$

Das Vektorprodukt ergibt den Normalenvektor, der die Ausrichtung der Ebene beschreibt.

$\vec{n}=\vec{d_1}\ x\ \vec{d_2}$

$\vec{n}=\left(4a^2-\frac{8}{3}-\frac{32}{9}\right)\cdot\left(-4\ \right|\ 10\ \left|\ 0\ \right)$ Die grundsätzliche Richtung des Normalenvektors ist mit ( -4 | 10 | 0 ) beschrieben. Der Vorfaktor ist nur ein Skalierungsfaktor. Hiermit ist bereits bewiesen, dass sich der Ball in einer Ebene bewegt. Die Ausrichtung des Normalenvektors n ändert sich nicht mit der Variation von a. Nur seine Länge ändert sich.

Die Ebenengleichung kann direkt aus dem Normalenvektor abgeleitet werden.

$-4x_1+10x_2=d$ Setzt man beispielsweise den Punkt A ein, so gewinnt man d.

$-4\cdot\left(-\frac{13}{3}\right)+10\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=d=4$ $-4x_1+10x_2=4$ Division durch (-2) liefert

$2x_1-5x_2=-2$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung